Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €10 000 sau 6 năm. Một tài khoản trả lãi 2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €10 0002% / 12n = 6

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn tiết kiệm €100 vào cuối mỗi tháng trong 25 năm. Tài khoản trả lãi 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Cuối cùng bạn tiết kiệm được bao nhiêu? Tìm FV.

A = €1007,2% / 12N = 300

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €30 000 hôm nay và mang về €10 000 vào cuối mỗi năm trong 5 năm. Chi phí vốn là 12%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000CF₄ = 10 000CF₅ = 10 000

DPB = năm

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €20 000 và mang lại €8 000, €14 500 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 14 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 2% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 12 năm. Lợi suất đáo hạn là 5,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 5,5%n = 12

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 4,5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 12 năm. Nó được bán với giá €1 047. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 4,5% (2×)n = 12P = €1 047

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu (theo giá trị thị trường) là 0,25. Chi phí vốn chủ sở hữu của nó là 12%, chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 20%. Tìm WACC.

D/E = 0,25r_e = 12%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 0,9. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 0,6. Thuế suất là 21%, lãi suất phi rủi ro là 4% và phần bù rủi ro thị trường là 4%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e ở cơ cấu vốn mới.

β_U = 0,9D/E = 0,6T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 57, 34, 18, 50, 16, 59.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 60.

μ = 100σ = 20x = 60

z =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,25, 0,05

σ =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3Y = −2X + 4

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,2420. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,2420

z =

14.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Kéo ngưỡng sao cho 75% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 60 điện thoại, trung bình 79,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 15 h. Mẫu 2: 40 điện thoại, trung bình 87,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 12 h. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 79,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 87,5 hσ₂ = 12 h90%

E = h

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 19. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?

σ = 19E = 590%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 203,2 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,2s = 12n = 81

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ < 100 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 10. Trên thực tế trung bình là 94.8. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.

μ₀ = 100μ = 94,8σ = 10n = 25α = 0,05

1 − β = %

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 13?

n = 6ŷ = 13

x =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 8870 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·6 = 72

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,127 = €8 870,09

Đáp số

PV = €8 870,09

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 83620 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·25 = 300

Giá trị tương lai của các khoản gửi

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(6,017 − 1)/0,006 = €83 619,95

Đáp số

FV = €83 619,95

Bạn tự nộp vào €30 000; phần còn lại là tiền lãi.

3.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 3,941 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 10 000/1,12 = 8 928,57 → Σ = 8 928,57

năm 2: 10 000/1,254 = 7 971,94 → Σ = 16 900,51

năm 3: 10 000/1,405 = 7 117,80 → Σ = 24 018,31

năm 4: 10 000/1,574 = 6 355,18 → Σ = 30 373,49

Phần của năm cuối

DPB = 3 + 5 981,69/6 355,18 = 3,941

Đáp số

DPB = 3,941 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3 năm).

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 7,464 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(5%) = 770,98

NPV(10%) = −743,80

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 5 + 5·770,98/(770,98 − (−743,80)) = 7,545%

chính xác: NPV(7,464%) = 0 → IRR = 7,464%

Đáp số

IRR = 7,464%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 695,5 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €10,00, i = 0,0275, N = 24

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€10,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €174,01

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,5215 = €521,48

Giá

P = €695,49

Đáp số

P = €695,49

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 4,003 %

Mỗi kỳ

C = €22,50, N = 24

Giải bằng số

i = 2,001% mỗi nửa năm

YTM

YTM = 2·2,001% = 4,003%

Đáp số

YTM = 4,003%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 10,32 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Các tỉ trọng từ D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·4,5%·(1 − 0,2) = 10,32%

Đáp số

WACC = 10,32%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 9,306 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Beta có đòn bẩy

β_L = 0,9·(1 + 0,79·0,6) = 1,327

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 4% + 1,327·4% = 9,306%

Đáp số

r_e = 9,306%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 19,18

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 234/6 = 39

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 18² + (−5)² + (−21)² + 11² + (−23)² + 20² = 1840

Độ lệch chuẩn

s = √(1840/5) = 19,18

Đáp số

s = 19,18

10.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −2

Chuẩn hóa

z = (60 − 100)/20 = −2

Đáp số

z = −2

11.Xác suất

Đáp số: σ = 1,314

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,25 + 5·0,05 = 2,35

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,25 + 25·0,05 = 7,25

Phương sai

Var(X) = 7,25 − 2,35² = 1,727

σ = √1,727 = 1,314

Đáp số

σ = 1,314

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 1,778

Độ phân tán của X

μ = 2,9, Var(X) = 0,79, σ_X = 0,8888

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |−2|·0,8888 = 1,778

Đáp số

σ_Y = 1,778

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·2,9 + 4 = −1,8.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 0,7

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,2420 = 0,7580

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,7580 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 0,70

Đáp số

z = 0,70

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 173,3 cm

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,25

z từ bảng

z ≈ −0,67

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Đáp số

x = 173,3 cm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 4,46 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 79,5 − 87,5 = −8

Sai số chuẩn

SE = √(15²/60 + 12²/40) = 2,711

Sai số biên

E = 1,645·2,711 = 4,46

Đáp số

E = 4,46 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 40

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·19/5)² = 39,08

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 40

Đáp số

n = 40

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,4

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Thống kê kiểm định

t = (203,2 − 200)/1,333 = 2,4

Đáp số

t = 2,4

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: 1 − β = 83,02 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 100 − 1,645·2 = 96,71

z theo trung bình thật

z = (96,71 − 94,8)/2 = 0,955

Công suất

lực của kiểm định = P(Z < 0.955) = 83.02%

1 − β = 83,02%

Đáp số

1 − β = 83,02%

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9125

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 252/5 = 50,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 243,2

Hệ số tương quan

r = 45/√(10·243,2) = 0,9125

Đáp số

r = 0,9125

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 5,364

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 109/6 = 18,17

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48,5

Đường hồi quy

b = −48,5/17,5 = −2,771

a = 18,17 − (−2,771)·3,5 = 27,87

ŷ = 27,87 − 2,771·x

Giải tìm x

x = (13 − 27,87)/(−2,771) = 5,364

Đáp số

x = 5,364

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income