Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €20 000 sau 5 năm. Một tài khoản trả lãi 2% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €20 0002% / 4n = 5

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn gửi €2 000 vào đầu mỗi năm trong 28 năm, khoản đầu tiên gửi hôm nay. Tài khoản trả lãi 5% mỗi năm. Cuối năm 28 trong tài khoản có bao nhiêu? Tìm FV.

A = €2 000i = 5%n = 28

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một khoản đầu tư €60 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 4: €21 000, €16 000, €21 000, €30 000. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 16 000CF₃ = 21 000CF₄ = 30 000

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €50 000 và mang lại €28 500, €36 000, €22 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −50 000CF₁ = 28 500CF₂ = 36 000CF₃ = 22 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4,5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Lợi suất đáo hạn là 3% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 3%n = 9

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 5% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 9 năm. Nó được bán với giá €810. Tìm lợi suất đến ngày đáo hạn YTM theo lãi suất hằng năm (gấp đôi lợi suất nửa năm), theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 9P = €810

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 9%, chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 25,8%. Tìm WACC.

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM và WACCKhó

Hoạt động kinh doanh của một công ty có beta không có đòn bẩy (beta tài sản) là 1. Công ty dự định tỉ lệ nợ trên vốn chủ sở hữu là 1. Thuế suất là 28%, lãi suất phi rủi ro là 2,5% và phần bù rủi ro thị trường là 5%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e ở cơ cấu vốn mới.

β_U = 1D/E = 1T = 28%r_f = 2,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 48, 54, 49, 25, 47.

n = 5

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 110 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 5x = 110

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,2, 0,15

σ =

12.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 5 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 2 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 5p = 0,25k = 2

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 759,8 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759,8 g

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 phần tử có trung bình 50 và độ lệch chuẩn s = 20. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 25x̄ = 50s = 2090%t(24) = 1,711

E =

16.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 20 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 2,6 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 19, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 8,907 và 2,5% nằm trên 32,852.

n = 20s = 2,6 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 118,2 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 10n = 100

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ < 50 được thực hiện ở mức α = 0.10 với một mẫu 36; độ lệch chuẩn đã biết là 3. Trên thực tế trung bình là 48.6. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.

μ₀ = 50μ = 48,6σ = 3n = 36α = 0,10

1 − β = %

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (31,5, 175) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(31,5, 175)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 18101 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·5 = 20

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,105 = €18 101,26

Đáp số

PV = €18 101,26

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 122645 €

Hệ số niên kim thông thường

((1 + 0,05)²⁸ − 1)/0,05 = 58,4

Niên kim đầu kỳ

Mỗi khoản tiền gửi được đầu tư thêm một năm.

FV = 2 000·58,4·1,05 = €122 645,42

Đáp số

FV = €122 645,42

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 8582 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị hiện tại của từng dòng tiền

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 21 000/1,1 = 19 090,91

CF₂/(1 + 0,1)² = 16 000/1,21 = 13 223,14

CF₃/(1 + 0,1)³ = 21 000/1,331 = 15 777,61

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 30 000/1,464 = 20 490,40

Cộng lại

NPV = €8 582,06

Đáp số

NPV = €8 582,06

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 34,7 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(30%) = 3 238,51

NPV(35%) = −194,08

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 30 + 5·3 238,51/(3 238,51 − (−194,08)) = 34,72%

chính xác: NPV(34,7%) = 0 → IRR = 34,7%

Đáp số

IRR = 34,7%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 1118 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €22,50, i = 0,015, N = 18

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€22,50·(1 − 0,7649)/0,015 = €352,63

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,7649 = €764,91

Giá

P = €1 117,54

Đáp số

P = €1 117,54

Lợi suất thấp hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá cao hơn mệnh giá.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 8,002 %

Mỗi kỳ

C = €25,00, N = 18

Giải bằng số

i = 4,001% mỗi nửa năm

YTM

YTM = 2·4,001% = 8,002%

Đáp số

YTM = 8,002%

7.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,401 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

WACC

WACC = 0,4286·9% + 0,5714·6%·(1 − 0,258) = 6,401%

Đáp số

WACC = 6,401%

8.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 11,1 %

Beta có đòn bẩy (Hamada): nợ làm vốn chủ sở hữu rủi ro hơn. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), trong đó β_U là beta của hoạt động kinh doanh không có nợ. Để chuyển beta sang cơ cấu vốn khác, hãy bỏ đòn bẩy trước rồi áp lại đòn bẩy với D/E mới.

Beta có đòn bẩy

β_L = 1·(1 + 0,72·1) = 1,72

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,72·5% = 11,1%

Đáp số

r_e = 11,1%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,28

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 223/5 = 44,6

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 3,4² + 9,4² + 4,4² + (−19,6)² + 2,4² = 509,2

Độ lệch chuẩn

s = √(509,2/4) = 11,28

Đáp số

s = 11,28

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,9772

Chuẩn hóa

z = 2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772

11.Xác suất

Đáp số: σ = 1,364

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,2 + 5·0,15 = 2,8

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,2 + 25·0,15 = 9,7

Phương sai

Var(X) = 9,7 − 2,8² = 1,86

σ = √1,86 = 1,364

Đáp số

σ = 1,364

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,2637

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 2) = 10·0,25²·0,75³ = 10·0,0625·0,4219 = 0,2637

Đáp số

P = 0,2637

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,1587

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Chuẩn hóa

z = (759,8 − 750)/9,849 = 1

Đuôi trên

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 191,7 cm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Đáp số

x = 191,72 cm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 6,844

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Sai số biên

E = 1,711·20/√25 = 6,844

Đáp số

E = 6,844

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 3,797 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 19·2,6² = 128,4

Các giới hạn cho σ²

128,4/32,852 = 3,91

128,4/8,907 = 14,42

Giới hạn cho σ

σ = √14,42 = 3,797 µm

Đáp số

σ = 3,797 µm

Khoảng 95% cho σ: [1,977, 3,797] µm.

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,8

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Thống kê kiểm định

t = (118,2 − 120)/1 = −1,8

Đáp số

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: 1 − β = 93,55 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 3/√36 = 0,5

x̄_c = 50 − 1,282·0,5 = 49,36

z theo trung bình thật

z = (49,36 − 48,6)/0,5 = 1,518

Công suất

lực của kiểm định = P(Z < 1.518) = 93.55%

1 − β = 93,55%

Đáp số

1 − β = 93,55%

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,897

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 112/6 = 18,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 123,3

Hệ số xác định

r² = −44²/(17,5·123,3) = 0,897

Đáp số

r² = 0,897

Khoảng 89,7% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 2,69

Các giá trị trung bình

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 823/6 = 137,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 922,5

Đường hồi quy

b = 922,5/157,5 = 5,857

a = 137,2 − 5,857·25,5 = −12,19

ŷ = −12,19 + 5,857·x

Giá trị dự đoán

ŷ = −12,19 + 5,857·31,5 = 172,3

Phần dư

e = 175 − 172,3 = 2,69

Đáp số

e = 2,69

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income