Một bất động sản dự kiến thu được tiền thuê ròng €10 000 vào năm tới. Tiền thuê dự kiến tăng 4% mỗi năm mãi mãi. Tỉ suất sinh lợi yêu cầu là 8% mỗi năm. Tìm giá trị PV của bất động sản hôm nay.
C1 = €10 000g = 4%r = 8%
PV = €
2.Giá trị thời gian của tiềnKhó
Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm. Lãi suất là 7,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.
P = €200 0007,2% / 12N = 240
A = €
3.NPV và IRRTrung bình
Một khoản đầu tư €75 000 cho các dòng tiền sau vào cuối các năm 1 đến 3: €19 000, €25 000, €30 000. Chi phí vốn là 7,000000000000001%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.
Một dự án tốn €20 000 và mang lại €10 000, €11 500 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình
Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả trái tức hằng năm 2% và đáo hạn sau 12 năm. Lợi suất đến ngày đáo hạn của nó thay đổi từ 4% thành 5%. Giá trái phiếu thay đổi bao nhiêu ΔP?
F = €1 000coupon = 2%n = 12y1 = 4%y2 = 5%
ΔP = €
6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó
Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €935 với lợi suất đến ngày đáo hạn 4% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 7 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất giảm 100 điểm cơ bản.
P0 = €935y = 4%D = 7Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM và WACCTrung bình
Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €3 000 000 và nợ trị giá €4 000 000. Chi phí vốn chủ sở hữu là 10%, chi phí nợ trước thuế là 3,5% và thuế suất là 25%. Tìm WACC.
Một công ty có 5 000 000 cổ phiếu giá €14,50 mỗi cổ phiếu và 5 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Beta của cổ phiếu là 0,8, lãi suất phi rủi ro 2% và lợi suất thị trường 6%. Tìm WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 6%rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 37, 49, 16, 40, 56, 14.
n = 6
s =
10.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 65.
μ = 60σ = 5x = 65
z =
11.Xác suấtTrung bình
Một túi chứa 8 quả bóng đỏ và 5 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?
8 / 5
P =
12.Xác suấtKhó
10 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?
n = 10p = 0,3
P =
13.Phân phối chuẩnTrung bình
Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 5 trong số đó vượt quá 123,9 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 123,9 kg
P =
14.Phân phối chuẩnKhó
Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Khoảng tin cậyTrung bình
Huyết áp của 7 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 1 và độ lệch chuẩn 5,2. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.
n = 7d̄ = 1sd = 5,299%t(6) = 3,707
giới hạn dưới = mmHg
16.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 5 ô, năng suất trung bình 87,5 kg, độ lệch chuẩn 7,5 kg. Nhóm ô 2: 7 ô, trung bình 80,5 kg, độ lệch chuẩn 9,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 50 chi tiết có chiều dài trung bình 143,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 3 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 40 chi tiết có trung bình 144,4 mm, độ lệch chuẩn đã biết 7 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).
Trong một thử nghiệm, 66 trong 120 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 158 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 66n₁ = 120x₂ = 158n₂ = 250
z =
19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 6
r² =
20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Dung dịch
1.Giá trị thời gian của tiền
Đáp số: PV = 250000 €
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)n. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.
Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·20 = 240
Khoản thanh toán
Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.
(1 + i)−N = 0,2379
A = 200 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 574,70
Đáp số
A = €1 574,70
3.NPV và IRR
Đáp số: NPV = −10918 €
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Giá trị hiện tại của từng dòng tiền
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 19 000/1,07 = 17 757,01
CF2/(1 + 0,07)2 = 25 000/1,145 = 21 835,97
CF3/(1 + 0,07)3 = 30 000/1,225 = 24 488,94
Cộng lại
NPV = €−10 918,09
Đáp số
NPV = €−10 918,09
NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.
4.NPV và IRR
Đáp số: IRR = 4,844 %
Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.
Kẹp IRR
NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.
NPV(0%) = 1 500,00
NPV(5%) = −45,35
Thu hẹp dần
Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.
Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.
Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Thời lượng điều chỉnh
Dmod = 7/1,04 = 6,731
Thay đổi giá ước lượng
%ΔP ≈ −6,731·(−0,01) = 6,731%
P ≈ 935·(1 + 0,06731) = €997,93
Đáp số
P = €997,93
Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.
7.CAPM và WACC
Đáp số: WACC = 5,786 %
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: re = rf + β·(rm − rf). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (65 − 60)/5 = 1
Đáp số
z = 1
11.Xác suất
Đáp số: P = 0,359
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Lần rút thứ nhất và thứ hai
P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359
Đáp số
P = 0,359
12.Xác suất
Đáp số: P = 0,1493
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Không hỏng và một hỏng
P(X = 0) = 0,710 = 0,02825
P(X = 1) = 10·0,3·0,79 = 0,1211
Cộng lại
P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493
Đáp số
P = 0,1493
13.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8365
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μT = 125 kg, σT = 0,5·√5 = 1,118 kg
Chuẩn hóa
z = (123,9 − 125)/1,118 = −0,98
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,98) = 0,8365
Đáp số
P = 0,8365
14.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,7881
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Chuẩn hóa
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Xác suất
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Đáp số
P = 0,7881
15.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −6,286 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Giá trị tới hạn
df = 6, t = 3,707
Sai số biên
E = 3,707·5,2/√7 = 7,286
Khoảng
1 ± 7,286 → [−6,286, 8,286]
Đáp số
giới hạn dưới = −6,286 mmHg
16.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 11,42 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (4·7,5² + 6·9,5²)/10 = 76,65
sp = 8,755
Sai số biên
E = 2,228·8,755·√(1/5 + 1/7) = 11,42
Đáp số
E = 11,42 kg
17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −0,7593
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Sai số chuẩn của hiệu
SE = √(3²/50 + 7²/40) = √1,405 = 1,185
Thống kê kiểm định
z = (143,5 − 144,4)/1,185 = −0,7593
Đáp số
z = −0,7593
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −1,511
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 66/120 = 0,55
p̂₂ = 158/250 = 0,632
p̂ = 224/370 = 0,6054
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,6054·0,3946·(1/120 + 1/250)) = 0,05428
Thống kê kiểm định
z = (0,55 − 0,632)/0,05428 = −1,511
Đáp số
z = −1,511
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
19.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,9815
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 564/6 = 94
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 711
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3270
Hệ số xác định
r² = 711²/(157,5·3270) = 0,9815
Đáp số
r² = 0,9815
Khoảng 98,15% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
20.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: ŷ = 60,16
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 446/6 = 74,33
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Đường hồi quy
b = 124/17,5 = 7,086
a = 74,33 − 7,086·5,5 = 35,36
ŷ = 35,36 + 7,086·x
Dự đoán
ŷ = 35,36 + 7,086·3,5 = 60,16
Đáp số
ŷ = 60,16
Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.