Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €8 000 với lãi suất danh nghĩa 5% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 8 năm.

PV = €8 0005% / 12n = 8

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn gửi €1 000 vào đầu mỗi năm trong 6 năm, khoản đầu tiên gửi hôm nay. Tài khoản trả lãi 5% mỗi năm. Cuối năm 6 trong tài khoản có bao nhiêu? Tìm FV.

A = €1 000i = 5%n = 6

FV = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một chiếc máy tốn €20 000 hôm nay, dùng được 8 năm và tốn €4 000 mỗi năm để vận hành (trả vào cuối mỗi năm). Chi phí vốn là 6%. Tìm chi phí hàng năm tương đương EAC của nó.

C₀ = €20 000M = €4 000n = 8r = 6%

EAC = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €20 000 và mang lại €13 500, €13 000 vào cuối các năm 1 đến 2. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 13 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Bạn mua một trái phiếu còn 8 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 6%) khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 2,5%. Một năm sau, ngay sau khi nhận trái tức đầu tiên, bạn bán nó khi lợi suất đến ngày đáo hạn là 4%. Tìm tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ HPR theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 6%n = 8y₀ = 2,5%y₁ = 4%

HPR = %

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 và coupon hằng năm 4% đáo hạn sau 7 năm và được bán với giá €1 060. Tìm lợi suất đáo hạn YTM theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 060

YTM = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €4 000 000 và nợ trị giá €2 000 000. WACC của nó là 8,11%, chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 28%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e.

E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 8,11%r_d = 6%T = 28%

r_e = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €14,50 mỗi cổ phiếu và 40 000 trái phiếu giao dịch ở €980 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 4,5% và thuế suất là 20%. Beta của cổ phiếu là 0,8, lãi suất phi rủi ro 3% và lợi suất thị trường 9,5%. Tìm WACC.

β = 0,8r_f = 3%r_m = 9,5%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 42, 48, 48, 53, 10, 13.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 174 là bao nhiêu?

μ = 170σ = 10x = 174

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

12.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 5 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,7, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 3 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 5p = 0,7k = 3

P =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bao xi măng là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 kg và độ lệch chuẩn 0,5 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 302,6 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 302,6 kg

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 12 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 4,1 và độ lệch chuẩn 7,5. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 12d̄ = 4,1s_d = 7,599%t(11) = 3,106

giới hạn dưới = mmHg

16.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 13 ô, năng suất trung bình 10,5 kg, độ lệch chuẩn 8 kg. Nhóm ô 2: 8 ô, trung bình 18 kg, độ lệch chuẩn 1 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 10,5s₁ = 8n₂ = 8x̄₂ = 18s₂ = 195%t(19) = 2,093

E = kg

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 203,8 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,8s = 8n = 25

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 100 phép đo có trung bình 53,1. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 53,1σ = 12n = 10095%

U =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 11925 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·8 = 96

Giá trị tương lai

FV = 8 000·(1 + 0,004167)⁹⁶ = 8 000·1,491 = €11 924,68

Đáp số

FV = €11 924,68

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 7142 €

Hệ số niên kim thông thường

((1 + 0,05)⁶ − 1)/0,05 = 6,802

Niên kim đầu kỳ

Mỗi khoản tiền gửi được đầu tư thêm một năm.

FV = 1 000·6,802·1,05 = €7 142,01

Đáp số

FV = €7 142,01

3.NPV và IRR

Đáp số: EAC = 7221 €

Chi phí hàng năm tương đương: trải giá trị hiện tại của mọi chi phí trên tuổi thọ thành một khoản đều hằng năm (một niên kim): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Nó cho phép bạn so sánh các máy có tuổi thọ khác nhau.

Hệ số niên kim

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

Giá mua quy đổi theo năm

20 000/6,21 = 3 220,72

EAC

EAC = 3 220,72 + 4 000 = €7 220,72

Đáp số

EAC = €7 220,72

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 21,15 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(20%) = 277,78

NPV(25%) = −880,00

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−880,00)) = 21,2%

chính xác: NPV(21,15%) = 0 → IRR = 21,15%

Đáp số

IRR = 21,15%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: HPR = −5,669 %

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Giá mua

C = €60,00, i = 0,025, N = 8

€60,00·(1 − 0,8207)/0,025 + €1 000·0,8207 = €430,21 + €820,75 = €1 250,95

Giá bán

C = €60,00, i = 0,04, N = 7

€60,00·(1 − 0,7599)/0,04 + €1 000·0,7599 = €360,12 + €759,92 = €1 120,04

Tỉ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ

HPR = (60 + 1 120,04 − 1 250,95)/1 250,95 = −5,669%

Đáp số

HPR = −5,669%

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTM = 3,036 %

Phương trình cho lợi suất

€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Giải bằng số

P(3%) = €1 062,30, P(4%) = €1 000,00

YTM = 3,036%

Đáp số

YTM = 3,036%

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 10,01 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Phần nợ trong WACC

0,3333·6%·(1 − 0,28) = 1,44%

Chi phí vốn chủ sở hữu

r_e = (8,11% − 1,44%)/0,6667 = 10,01%

Đáp số

r_e = 10,01%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,345 %

Giá trị thị trường

E = 4 000 000·€14,50 = €58 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 3% + 0,8·6,5% = 8,2%

Trọng số

V = €97 200 000, E/V = 0,5967, D/V = 0,4033

WACC

WACC = 0,5967·8,2% + 0,4033·4,5%·(1 − 0,2) = 6,345%

Đáp số

WACC = 6,345%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 19,06

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 214/6 = 35,67

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 6,333² + 12,33² + 12,33² + 17,33² + (−25,67)² + (−22,67)² = 1817

Độ lệch chuẩn

s = √(1817/5) = 19,06

Đáp số

s = 19,06

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,3446

Chuẩn hóa

z = 0,4

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Đáp số

P = 0,3446

11.Xác suất

Đáp số: σ = 0,8367

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Phương sai

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Đáp số

σ = 0,8367

12.Xác suất

Đáp số: P = 0,3087

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 3) = 10·0,7³·0,3² = 10·0,343·0,09 = 0,3087

Đáp số

P = 0,3087

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,06681

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Chuẩn hóa

z = (302,6 − 300)/1,732 = 1,5

Xác suất

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Đáp số

P = 0,06681

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 119,2 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Quay lại x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 điểm

Đáp số

x = 119,22 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −2,625 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 11, t = 3,106

Sai số biên

E = 3,106·7,5/√12 = 6,725

Khoảng

4,1 ± 6,725 → [−2,625, 10,82]

Đáp số

giới hạn dưới = −2,625 mmHg

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 6,007 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (12·8² + 7·1²)/19 = 40,79

s_p = 6,387

Sai số biên

E = 2,093·6,387·√(1/13 + 1/8) = 6,007

Đáp số

E = 6,007 kg

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,375

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Thống kê kiểm định

t = (203,8 − 200)/1,6 = 2,375

Đáp số

t = 2,375

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 55,45

Sai số biên

E = 1,96·12/√100 = 2,352

Giới hạn của khoảng

U = 53,1 + 2,352 = 55,45

Đáp số

U = 55,45

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9839

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 445/5 = 89

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1250

Hệ số tương quan

r = 220/√(40·1250) = 0,9839

Đáp số

r = 0,9839

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 19,15

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 83/5 = 16,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Đường hồi quy

b = −17/10 = −1,7

a = 16,6 − (−1,7)·3 = 21,7

ŷ = 21,7 − 1,7·x

Dự đoán

ŷ = 21,7 + (−1,7)·1,5 = 19,15

Đáp số

ŷ = 19,15

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income