Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn đầu tư €12 000 với lãi suất danh nghĩa 6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm giá trị FV của khoản đầu tư sau 2 năm.

PV = €12 0006% / 12n = 2

FV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 30 năm. Lãi suất là 4,8% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản thanh toán hằng tháng A.

P = €200 0004,8% / 12N = 360

A = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €60 000 hôm nay và mang về €16 000 vào cuối mỗi năm trong 6 năm. Chi phí vốn là 8%. Giả sử các dòng tiền đến đều đặn trong mỗi năm. Tìm thời gian hoàn vốn có chiết khấu DPB theo năm.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 16 000CF₃ = 16 000CF₄ = 16 000CF₅ = 16 000CF₆ = 16 000

DPB = năm

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €18 500, €14 500, €18 500 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 14 500CF₃ = 18 500

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 4% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 12 năm. Lợi suất đáo hạn là 8% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 8%n = 12

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu giao dịch ở mức giá €915 với lợi suất đến ngày đáo hạn 3% (ghép lãi hằng năm) và thời lượng Macaulay 11,1 năm. Dùng thời lượng điều chỉnh để ước lượng giá mới P nếu lợi suất tăng 50 điểm cơ bản.

P₀ = €915y = 3%D = 11,1Δy = +50 bp

P = €

7.CAPM và WACCTrung bình

Một công ty có vốn chủ sở hữu trị giá €5 000 000 và nợ trị giá €5 000 000. WACC của nó là 7,8%, chi phí nợ trước thuế là 5% và thuế suất là 28%. Tìm chi phí vốn chủ sở hữu r_e.

E = €5 000 000D = €5 000 000WACC = 7,8%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có 4 000 000 cổ phiếu giá €20,00 mỗi cổ phiếu và 20 000 trái phiếu giao dịch ở €1 000 mỗi trái phiếu. Chi phí nợ trước thuế là 6% và thuế suất là 21%. Beta của cổ phiếu là 1,1, lãi suất phi rủi ro 2,5% và lợi suất thị trường 7%. Tìm WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 53, 25, 26, 55, 19, 20.

n = 6

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 50 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 10x = 50

P =

11.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 8 quả bóng đỏ và 5 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

8 / 5

P =

12.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 2X − 3. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,2, 0,25Y = 2X − 3

σ_Y =

13.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bu lông là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 40 g và độ lệch chuẩn 1,2 g. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 5 trong số đó vượt quá 205,4 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 205,4 g

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = điểm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 90% cho một trung bình, dựa trên 36 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 4,1. Sai số biên E₂ của một khoảng 95% từ cùng dữ liệu là bao nhiêu?

90%n₁ = 36E₁ = 4,195%

E₂ =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 28. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1?

σ = 28E = 199%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 68,4 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 68,4s = 12n = 16

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 180 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 53 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 53n₂ = 80

z =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: FV = 13526 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·2 = 24

Giá trị tương lai

FV = 12 000·(1 + 0,005)²⁴ = 12 000·1,127 = €13 525,92

Đáp số

FV = €13 525,92

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 1049 €

Lãi suất tháng và số kỳ thanh toán

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·30 = 360

Khoản thanh toán

Giá trị hiện tại của N khoản thanh toán bằng nhau A là A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Cho nó bằng khoản vay và giải tìm A.

(1 + i)^−N = 0,2376

A = 200 000·0,004/(1 − 0,2376) = €1 049,33

Đáp số

A = €1 049,33

3.NPV và IRR

Đáp số: DPB = 4,643 năm

Thời gian hoàn vốn: thời gian cho đến khi dòng tiền tích lũy hoàn trả khoản đầu tư ban đầu. Giả định tiền về đều trong mỗi năm, nên phần cuối là một phần của năm. Thời gian hoàn vốn đơn giản bỏ qua giá trị thời gian của tiền; thời gian hoàn vốn có chiết khấu dùng các dòng tiền đã chiết khấu.

Dòng tiền đã chiết khấu và tích lũy

năm 1: 16 000/1,08 = 14 814,81 → Σ = 14 814,81

năm 2: 16 000/1,166 = 13 717,42 → Σ = 28 532,24

năm 3: 16 000/1,26 = 12 701,32 → Σ = 41 233,55

năm 4: 16 000/1,36 = 11 760,48 → Σ = 52 994,03

năm 5: 16 000/1,469 = 10 889,33 → Σ = 63 883,36

Phần của năm cuối

DPB = 4 + 7 005,97/10 889,33 = 4,643

Đáp số

DPB = 4,643 năm

Thời gian hoàn vốn có chiết khấu luôn dài hơn thời gian hoàn vốn đơn giản (3,75 năm).

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 47,4 %

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(45%) = 723,48

NPV(50%) = −740,74

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 45 + 5·723,48/(723,48 − (−740,74)) = 47,47%

chính xác: NPV(47,4%) = 0 → IRR = 47,4%

Đáp số

IRR = 47,4%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 695,1 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €20,00, i = 0,04, N = 24

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€20,00·(1 − 0,3901)/0,04 = €304,94

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,3901 = €390,12

Giá

P = €695,06

Đáp số

P = €695,06

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 865,7 €

Thời lượng (duration): thời lượng Macaulay là thời gian trung bình có trọng số mà trái phiếu trả các dòng tiền của nó, với trọng số là giá trị hiện tại của các dòng tiền: D = Σ t·PVₜ/P. Thời lượng điều chỉnh D/(1 + y) ước lượng phần trăm thay đổi giá khi lợi suất thay đổi nhỏ: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Thời lượng điều chỉnh

D_mod = 11,1/1,03 = 10,78

Thay đổi giá ước lượng

%ΔP ≈ −10,78·(0,005) = −5,388%

P ≈ 915·(1 − 0,05388) = €865,70

Đáp số

P = €865,70

Thời lượng là một ước lượng tuyến tính; với thay đổi lợi suất lớn, độ lồi làm giá thực cao hơn một chút.

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_e = 12 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Trọng số

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

Phần nợ trong WACC

0,5·5%·(1 − 0,28) = 1,8%

Chi phí vốn chủ sở hữu

r_e = (7,8% − 1,8%)/0,5 = 12%

Đáp số

r_e = 12%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 6,908 %

Giá trị thị trường

E = 4 000 000·€20,00 = €80 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Chi phí vốn chủ sở hữu (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·4,5% = 7,45%

Trọng số

V = €100 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·7,45% + 0,2·6%·(1 − 0,21) = 6,908%

Đáp số

WACC = 6,908%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 16,5

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 198/6 = 33

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 20² + (−8)² + (−7)² + 22² + (−14)² + (−13)² = 1362

Độ lệch chuẩn

s = √(1362/5) = 16,5

Đáp số

s = 16,5

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,9772

Chuẩn hóa

z = −2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772

11.Xác suất

Đáp số: P = 0,359

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0,359

Đáp số

P = 0,359

12.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 22,34

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 24,5, Var(X) = 124,8, σ_X = 11,17

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |2|·11,17 = 22,34

Đáp số

σ_Y = 22,34

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 2·24,5 − 3 = 46.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,02222

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Chuẩn hóa

z = (205,4 − 200)/2,683 = 2,01

Xác suất

P = 1 − Φ(2,01) = 0,02222

Đáp số

P = 0,02222

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 89,88 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Quay lại x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 điểm

Đáp số

x = 89,88 điểm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 4,885

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191

Sai số biên mới

E₂ = 4,1·1,191 = 4,885

Đáp số

E₂ = 4,885

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 5203

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·28/1)² = 5202

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 5203

Đáp số

n = 5203

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Thống kê kiểm định

t = (68,4 − 75)/3 = −2,2

Đáp số

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −1,02

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 180/300 = 0,6

p̂₂ = 53/80 = 0,6625

p̂ = 233/380 = 0,6132

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,6132·0,3868·(1/300 + 1/80)) = 0,06128

Thống kê kiểm định

z = (0,6 − 0,6625)/0,06128 = −1,02

Đáp số

z = −1,02

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9949

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 784/6 = 130,7

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 897

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5161

Hệ số tương quan

r = 897/√(157,5·5161) = 0,9949

Đáp số

r = 0,9949

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 62,45

Các giá trị trung bình

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 300/5 = 60

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49

Đường hồi quy

b = 49/10 = 4,9

a = 60 − 4,9·4 = 40,4

ŷ = 40,4 + 4,9·x

Dự đoán

ŷ = 40,4 + 4,9·4,5 = 62,45

Đáp số

ŷ = 62,45

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income