Luyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Giá và lợi suất trái phiếu

Giá trái phiếu: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Nửa năm: C/2, y/2 và 2n kỳ
Lợi suất hiện hành: C/P
Giá và lợi suất: lợi suất tăng → giá giảm

Phương pháp

Tìm coupon mỗi kỳ và lợi suất mỗi kỳ.
Giá = giá trị hiện tại của các khoản coupon (một niên kim) + giá trị hiện tại của mệnh giá.
Với coupon nửa năm, dùng một nửa coupon, một nửa lợi suất và gấp đôi số kỳ.
Kiểm tra: nếu lợi suất cao hơn lãi suất coupon, giá thấp hơn mệnh giá.

CAPM và WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Giá trị doanh nghiệp: V = E + D

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €40 000 sau 7 năm. Một tài khoản trả lãi 3% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €40 0003% / 4n = 7

PV = €

2.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay thế chấp €200 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 25 năm với lãi suất 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Ngay sau khoản thanh toán cuối năm 3 còn nợ bao nhiêu? Tìm số dư nợ B.

P = €200 0003,6% / 12N = 300k = 36

B = €

3.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €400 000 hôm nay. Nó tạo ra €43 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 3% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €43 000g = 3%r = 12%

NPV = €

4.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €50 000 và mang lại €17 500, €24 000, €33 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −50 000CF₁ = 17 500CF₂ = 24 000CF₃ = 33 000

IRR = %

5.Giá và lợi suất trái phiếuTrung bình

Một trái phiếu có mệnh giá €1 000 trả coupon hằng năm 3% thành hai lần mỗi nửa năm và đáo hạn sau 10 năm. Lợi suất đáo hạn là 5,5% mỗi năm. Tìm giá P của trái phiếu.

F = €1 000coupon = 3%YTM = 5,5%n = 10

P = €

6.Giá và lợi suất trái phiếuKhó

Một trái phiếu còn 18 năm đến ngày đáo hạn (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 5%) được bán với giá €1 127. Tổ chức phát hành có thể mua lại nó sau 3 năm với giá mua lại €1 050. Tìm lợi suất đến ngày mua lại YTC theo phần trăm.

F = €1 000coupon = 5%P = €1 127giá mua lại = €1 050mua lại sau 3 năm

YTC = %

7.CAPM và WACCTrung bình

Một cổ phiếu có beta 1,6 có tỉ suất sinh lợi yêu cầu 14,7%. Lãi suất phi rủi ro là 3,5%. CAPM hàm ý tỉ suất sinh lợi thị trường kỳ vọng r_m là bao nhiêu?

β = 1,6r_e = 14,7%r_f = 3,5%

r_m = %

8.CAPM và WACCKhó

Một công ty có vốn chủ sở hữu với giá trị thị trường €8 000 000 và chi phí vốn chủ sở hữu 12%. Nợ của công ty gồm 8 000 trái phiếu (mệnh giá €1 000, trái tức hằng năm 4%, còn 11 năm đến ngày đáo hạn) giao dịch ở mức €1 045 mỗi trái phiếu. Thuế suất là 20%. Tìm WACC, dùng lợi suất đến ngày đáo hạn của các trái phiếu làm chi phí nợ trước thuế.

E = €8 000 000r_e = 12%trái phiếu: 8 000 × €1 045coupon = 4%n = 11T = 20%

WACC = %

9.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 34, 23, 56, 57, 27, 42, 26.

n = 7

s =

10.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 146 là bao nhiêu?

μ = 170σ = 20x = 146

P =

11.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,05, 0,15, 0,35, 0,2

Var(X) =

12.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €4 với xác suất 0,15 và €40 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €2€4: p = 0,15€40: p = 0,01

E(G) = €

13.Phân phối chuẩnTrung bình

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 422 và 534 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 534

P =

14.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

15.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 10 phần tử có trung bình 60,5 và độ lệch chuẩn s = 11,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 10x̄ = 60,5s = 11,595%t(9) = 2,262

giới hạn trên =

16.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 11. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 11E = 0,595%

n =

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 6 học sinh, điểm trung bình 76,5, độ lệch chuẩn 2,5. Nhóm 2: 6 học sinh, điểm trung bình 72,5, độ lệch chuẩn 6,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).

n₁ = 6x̄₁ = 76,5s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 72,5s₂ = 6,5

t =

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 16 phép đo có trung bình 97,4. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 97,4σ = 5n = 1695%

U =

19.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6

r =

20.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (2,5, 17) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 17)

e =

3Dung dịch

1.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 32449 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·7 = 28

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,233 = €32 448,79

Đáp số

PV = €32 448,79

2.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: B = 184362 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,003, N = 300

A = 200 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €1 012,01

Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán còn lại

Số còn nợ phải được trả hết đúng bằng các khoản thanh toán còn lại.

N − k = 300 − 36 = 264

B = 1012·(1 − (1 + 0,003)⁻²⁶⁴)/0,003 = €184 361,97

Đáp số

B = €184 361,97

3.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 77778 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị của các dòng tiền

PV = 43 000/(0,12 − 0,03) = 477 777,78

NPV

NPV = 477 777,78 − 400 000 = €77 777,78

Đáp số

NPV = €77 777,78

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

4.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 20,4 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(20%) = 347,22

NPV(25%) = −3 744,00

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 20 + 5·347,22/(347,22 − (−3 744,00)) = 20,42%

chính xác: NPV(20,4%) = 0 → IRR = 20,4%

Đáp số

IRR = 20,4%

5.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: P = 809,7 €

Định giá trái phiếu: giá của một trái phiếu là giá trị hiện tại của các dòng tiền của nó, chiết khấu theo lợi suất đáo hạn (YTM): các khoản coupon tạo thành một niên kim và mệnh giá được hoàn trả khi đáo hạn. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Khi lợi suất cao hơn lãi suất coupon, trái phiếu giao dịch dưới mệnh giá, và ngược lại.

Mỗi kỳ

C = €15,00, i = 0,0275, N = 20

Giá trị hiện tại của các khoản coupon

€15,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €228,41

Giá trị hiện tại của mệnh giá

€1 000·0,5813 = €581,25

Giá

P = €809,66

Đáp số

P = €809,66

Lợi suất cao hơn lãi suất coupon, nên trái phiếu được bán với giá chiết khấu.

6.Giá và lợi suất trái phiếu

Đáp số: YTC = 2,209 %

Phương trình cho lợi suất

1127 = 50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1050/(1 + y)³

Giải bằng số

y = 2%: €1 133,63

y = 3%: €1 102,33

YTC = 2,209%

Đáp số

YTC = 2,209%

Lợi suất đến ngày đáo hạn là 3,997%. Nhà đầu tư vào trái phiếu giá cao hơn mệnh giá kỳ vọng nó sẽ bị mua lại, nên lợi suất đến ngày mua lại thấp hơn là con số thực tế hơn.

7.CAPM và WACC

Đáp số: r_m = 10,5 %

Chi phí vốn: CAPM cho tỷ suất sinh lời mà cổ đông yêu cầu: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Chi phí vốn bình quân gia quyền trộn vốn chủ sở hữu và nợ theo giá trị thị trường của chúng: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), với V = E + D. Lãi vay được khấu trừ thuế, do đó có (1 − T).

Phần bù rủi ro thị trường

r_m − r_f = (14,7% − 3,5%)/1,6 = 7%

Tỉ suất sinh lợi thị trường

r_m = 3,5% + 7% = 10,5%

Đáp số

r_m = 10,5%

8.CAPM và WACC

Đáp số: WACC = 7,299 %

Chi phí nợ (YTM)

1045 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3,5%

Giá trị thị trường

D = 8 000·€1 045 = €8 360 000

V = €16 360 000, E/V = 0,489, D/V = 0,511

WACC

WACC = 0,489·12% + 0,511·3,5%·(1 − 0,2) = 7,299%

Đáp số

WACC = 7,299%

9.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,18

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 265/7 = 37,86

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−3,857)² + (−14,86)² + 18,14² + 19,14² + (−10,86)² + 4,143² + (−11,86)² = 1207

Độ lệch chuẩn

s = √(1207/6) = 14,18

Đáp số

s = 14,18

10.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1151

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Đáp số

P = 0,1151

11.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 2,16

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,25 + 1·0,05 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,2

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,05 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,2 = 7

Phương sai

Var(X) = 7 − 2,2² = 2,16

Đáp số

Var(X) = 2,16

12.Xác suất

Đáp số: E(G) = −1 €

Các kết quả ròng

G: 2 (p = 0,15), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 2·0,15 + 38·0,01 − 2·0,84 = −1 €

Đáp số

E(G) = −1 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

13.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7767

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,85) − Φ(−1,95) = 0,8023 − 0,02559 = 0,7767

Đáp số

P = 0,7767

14.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 191,7 cm

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Đáp số

x = 191,72 cm

15.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 68,73

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Sai số biên

E = 2,262·11,5/√10 = 8,226

Khoảng

60,5 ± 8,226 → [52,27, 68,73]

Đáp số

giới hạn trên = 68,73

16.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1860

Giải tìm n

n = (1,96·11/0,5)² = 1859

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 1860

Đáp số

n = 1860

17.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,407

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Phương sai gộp

s_p² = (5·2,5² + 5·6,5²)/10 = 24,25

s_p = 4,924

Sai số chuẩn

SE = 4,924·√(1/6 + 1/6) = 2,843

Thống kê kiểm định

t = (76,5 − 72,5)/2,843 = 1,407

Đáp số

t = 1,407

Với df = 10, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,228; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.

18.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 99,85

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Giới hạn của khoảng

U = 97,4 + 2,45 = 99,85

Đáp số

U = 99,85

19.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9187

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 130/6 = 21,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 69,33

Hệ số tương quan

r = −32/√(17,5·69,33) = −0,9187

Đáp số

r = −0,9187

20.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,9

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 92/5 = 18,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Đường hồi quy

b = −30/10 = −3

a = 18,4 − (−3)·3 = 27,4

ŷ = 27,4 − 3·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 27,4 + (−3)·2,5 = 19,9

Phần dư

e = 17 − 19,9 = −2,9

Đáp số

e = −2,9

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. CFA® and Chartered Financial Analyst® là các nhãn hiệu của CFA Institute; tổ chức này không liên kết với ExamProblems, không bảo trợ và không bảo đảm độ chính xác của nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income