Hãy vẽ biểu đồ Venn và xác định từng vùng xem vùng nào thuộc biểu thức tập hợp.
Với bài toán đếm, hãy điền các vùng từ tâm ra ngoài: tất cả các tập, rồi từng cặp, rồi từng tập đơn, rồi phần bên ngoài.
Hãy dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ để kiểm tra: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Với một quan hệ, hãy kiểm tra từng tính chất trên mọi cặp và đưa ra một phản ví dụ khi tính chất không đúng.
Với một hàm, hãy đếm số mũi tên đến mỗi phần tử của B: nhiều nhất một là đơn ánh, ít nhất một là toàn ánh.
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
Lý thuyết số & số học đồng dư
Phép chia có dư
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclid
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Bội chung nhỏ nhất
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Nghịch đảo
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Đồng dư tuyến tính
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Hàm phi Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Phương pháp
Trước hết hãy rút gọn mọi số theo modulo n; số dư nằm trong khoảng từ 0 đến n − 1.
Với ước chung lớn nhất, hãy chia liên tiếp theo thuật toán Euclid; số dư khác 0 cuối cùng chính là ước chung lớn nhất.
Với số nghịch đảo, hãy chạy thuật toán Euclid mở rộng và lấy hệ số của a; cộng n nếu nó âm.
Giải a·x ≡ b bằng cách nhân với a⁻¹; kết hợp hai đồng dư bằng cách viết x = r₁ + m₁k.
Với lũy thừa, hãy viết số mũ ở dạng nhị phân và bình phương liên tiếp; trong RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) với φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Bài tập
1.Logic mệnh đề & chứng minhTrung bình
Công thức nào tương đương logic với ¬(a ∨ b)? Hãy nhấp vào nó.
¬(a ∨ b)
1a ∨ ¬b
2¬a ∧ ¬b
3¬a ∨ ¬b
4¬a ∧ b
2.Logic mệnh đề & chứng minhKhó
Có bao nhiêu hàng trong 16 hàng của bảng chân trị làm ¬((b ∨ ¬a) ∧ ((b ∧ ¬c) ∧ (d ∨ a))) đúng? Gọi số này là N.
¬((b ∨ ¬a) ∧ ((b ∧ ¬c) ∧ (d ∨ a)))
N =
3.Tập hợp, quan hệ & hàmTrung bình
Trong một nhóm 58 học sinh, 31 học sinh nói tiếng Pháp (F), 37 học sinh nói tiếng Đức (G) và 15 học sinh nói cả hai. Có bao nhiêu thuộc cả hai tập?
|U| = 58|F| = 31|G| = 37|F ∩ G| = 15
|(F ∪ G)′| =
4.Tập hợp, quan hệ & hàmKhó
Các hàm f và g trên {1, 2, 3, 4, 5} được cho bằng bảng. Hãy tìm (f ∘ f)(5).
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 7|E| = 12
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.
M = ma trận kềL = 2
N =
7.Lý thuyết số & số học đồng dưTrung bình
Hãy tìm nghịch đảo của 37 theo modulo 41: số x với 0 < x < 41 và 37·x ≡ 1 (mod 41).
a = 37n = 41
37−1 mod 41 =
8.Lý thuyết số & số học đồng dưKhó
Hãy mã hóa thông điệp m = 65 bằng khóa công khai RSA (n, e) = (817, 19). Hãy tìm bản mã c.
n = 817e = 19m = 65
c =
3Dung dịch
1.Logic mệnh đề & chứng minh
Đáp số: ¬a ∧ ¬b
Tương đương logic: hai công thức tương đương (≡) khi chúng có cùng giá trị ở mọi hàng của bảng chân trị. Hằng đúng bằng 1 ở mọi hàng, mâu thuẫn bằng 0 ở mọi hàng, còn công thức ngẫu nhiên thì không thuộc loại nào. Các luật hữu ích: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b và ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (phản đảo); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; và các luật phân phối, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Luật
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. ∨ biến thành ∧ và cả hai phần đều bị phủ định.
¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b
Kiểm tra bằng bảng chân trị
a = 1, b = 1: 0 | 1 0 0 0
a = 1, b = 0: 0 | 1 0 1 0
a = 0, b = 1: 0 | 0 0 1 1
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 0
Đáp số
¬a ∧ ¬b
Các cột sau vạch là các phương án theo thứ tự hiển thị.
2.Logic mệnh đề & chứng minh
Đáp số: N = 13
Bảng chân trị: một công thức có n biến khác nhau có 2ⁿ hàng, mỗi hàng ứng với một tổ hợp giá trị chân trị (1 = đúng, 0 = sai). Hãy làm từ trong ra ngoài và cho mỗi công thức con một cột riêng. ¬a đảo giá trị; a ∧ b bằng 1 chỉ khi cả hai đều bằng 1; a ∨ b bằng 0 chỉ khi cả hai đều bằng 0; a → b bằng 0 chỉ khi a = 1 và b = 0; a ↔ b bằng 1 khi hai vế bằng nhau.
Tập hợp và biểu đồ Venn: A ∪ B gồm các phần tử thuộc A hoặc B (hoặc cả hai), A ∩ B gồm các phần tử thuộc cả hai, A − B gồm các phần tử của A không thuộc B, và phần bù A′ là mọi thứ trong U không thuộc A. Trong biểu đồ Venn, mọi biểu thức tập hợp là hợp của các vùng, nên hãy đếm theo từng vùng. Nguyên lý bao hàm – loại trừ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, và |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Các vùng
F ∩ G: 15
F − G: 31 − 15 = 16
G − F: 37 − 15 = 22
(F ∪ G)′: 58 − (16 + 22 + 15) = 5
Đáp số
|(F ∪ G)′| = 5
Đáp số
|(F ∪ G)′| = 5
4.Tập hợp, quan hệ & hàm
Đáp số: (f ∘ f)(5) = 5
Hàm và phép đếm: một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B. f là đơn ánh (một-một) khi các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau, toàn ánh (lên) khi mọi phần tử của B đều là một ảnh, và song ánh khi cả hai điều kiện đều đúng. Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm, n!/(n − m)! hàm đơn ánh (m ≤ n), và theo nguyên lý bao hàm – loại trừ có Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ hàm toàn ánh. |𝒫(A)| = 2ᵐ và |A × B| = m·n.
Hàm bên trong
f(5) = 2
Hàm bên ngoài
f(2) = 5
(f ∘ f)(5) = 5
Đáp số
(f ∘ f)(5) = 5
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: Chu trình Euler
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.
Ma trận kề
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Các đỉnh kề chung
(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2
Đáp số
N = 2
7.Lý thuyết số & số học đồng dư
Đáp số: 37−1 mod 41 = 10
Nghịch đảo và đồng dư: a có nghịch đảo theo modulo n đúng khi gcd(a, n) = 1. Thuật toán Euclid mở rộng viết 1 = s·n + t·a, và khi đó a⁻¹ ≡ t (mod n). Một đồng dư a·x ≡ b (mod n) với gcd(a, n) = 1 có nghiệm x ≡ a⁻¹·b. Hai đồng dư x ≡ r₁ (mod m₁) và x ≡ r₂ (mod m₂) với các modulo nguyên tố cùng nhau có một nghiệm theo modulo m₁·m₂ (định lý số dư Trung Hoa). φ(n) của Euler đếm các số từ 1 đến n nguyên tố cùng nhau với n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Thuật toán Euclid mở rộng
Mỗi số dư r được viết là r ≡ t·37 (mod 41).
r = 41, t = 0
r = 37, q = 1, t = 1
r = 4, q = 9, t = −1
r = 1, q = 4, t = 10
Nghịch đảo
1 ≡ 10·37 (mod 41)
x = 10
kiểm tra: 37·10 = 370 = 9·41 + 1
Đáp số
37−1 mod 41 = 10
8.Lý thuyết số & số học đồng dư
Đáp số: c = 426
Lũy thừa modulo và RSA: tính aᵏ mod n bằng bình phương lặp: viết k ở dạng nhị phân, bình phương, rút gọn sau mỗi bước và nhân các lũy thừa có bit bằng 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) với số nguyên tố p không chia hết a, nên số mũ có thể được rút gọn theo modulo p − 1. RSA: chọn các số nguyên tố p và q, n = p·q và φ(n) = (p − 1)(q − 1); số mũ công khai e nguyên tố cùng nhau với φ(n), và số mũ bí mật là d = e⁻¹ mod φ(n). Mã hóa bằng c = mᵉ mod n và giải mã bằng m = cᵈ mod n.