Động lực học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 20 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Động học

Vận tốc: v = v₀ + a·t
Độ dời: s = v₀·t + ½·a·t²
Không có thời gian: v² = v₀² + 2·a·s
Đơn vị: 1 m/s = 3,6 km/h

Phương pháp

Liệt kê những gì bạn biết: v₀, v, a, t và s, kèm đơn vị.
Chọn phương trình chứa ba đại lượng đã biết và ẩn số.
Chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các đại lượng ngược chiều.
Giải và kiểm tra xem đáp án có hợp lý về mặt vật lý không.

Các định luật Newton

Định luật hai: ΣF = m·a
Trọng lượng: W = m·g
Ma sát trượt: F_f = μ·N
Trên mặt dốc: dọc theo: m·g·sin θ, pháp tuyến: m·g·cos θ

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do với mọi lực tác dụng lên vật.
Chọn một chiều dương dọc theo chuyển động.
Phân tích các lực thành thành phần dọc và vuông góc với chuyển động (trên mặt dốc: m·g·sin θ dọc theo, m·g·cos θ vuông góc vào mặt dốc).
Áp dụng ΣF = m·a dọc theo chuyển động; ma sát là μ·N ngược chiều chuyển động.

Chuyển động ném

Các thành phần: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Vị trí: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Độ cao cực đại: H = h + v_y²/(2g)
Tầm xa (mặt đất bằng phẳng): R = v₀²·sin 2θ/g

Phương pháp

Phân tích vận tốc ban đầu thành các thành phần: v_x = v₀·cos θ và v_y = v₀·sin θ.
Chuyển động ngang có tốc độ không đổi; chuyển động thẳng đứng có gia tốc −g.
Tìm thời gian bay từ chuyển động thẳng đứng.
Dùng thời gian đó trong chuyển động ngang để tìm tầm xa.

Chuyển động tròn

Gia tốc hướng tâm: a = v²/r = ω²·r
Lực hướng tâm: F = m·v²/r
Tốc độ góc: ω = v/r = 2π/T
Đường cong phẳng, ma sát: v_max = √(μ·g·r)

Công và năng lượng

Động năng: E_k = ½mv²
Thế năng: E_p = mgh
Cân bằng năng lượng: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Công của lực ma sát: W = μ·N·d
Công suất: P = W/t

Động lượng và va chạm

Động lượng: p = m·v
Bảo toàn: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Va chạm hoàn toàn không đàn hồi: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Xung lượng: J = F·Δt = m·Δv

Phương pháp

Chọn một chiều dương và gán dấu cho từng vận tốc.
Viết tổng động lượng trước va chạm: Σm·v.
Với va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật chuyển động cùng nhau sau đó; với va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn.
Cho động lượng trước bằng động lượng sau và giải.

Chuyển động quay của vật rắn

Mô-men quán tính đối với G: thanh mL²/12, đĩa ½mR², vành mR², cầu đặc (2/5)mR², cầu rỗng (2/3)mR²
Định lý trục song song: I = I_G + m·d²
Bán kính quán tính: I = m·k²
Thanh đối với đầu của nó: I = mL²/3
Phương trình chuyển động: ΣM = I·α
Tốc độ theo rad/s: ω = 2π·n/60
Động năng: E = ½·I·ω²
Công và công suất: W = T·θ, P = T·ω
Lăn không trượt: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Mô-men động lượng: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Va chạm quanh một chốt: m·v·d = I·ω

Phương pháp

Chọn trục: một chốt cố định, hoặc khối tâm đối với các vật lăn.
Tìm mô-men quán tính đối với trục đó từ các kết quả chuẩn, dùng I = I_G + m·d² cho trục bị dời.
Chọn phương pháp: ΣM = I·α cho gia tốc và lực, năng lượng (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) cho tốc độ, mô-men động lượng cho va chạm và các thay đổi đột ngột.
Liên hệ chuyển động thẳng và chuyển động quay bằng v = ω·r và a = α·r, và đổi vòng/phút sang rad/s.

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Lò xo và con lắc

Vật nặng trên lò xo: T = 2π·√(m/k)
Con lắc: T = 2π·√(L/g)
Tần số góc: ω = √(k/m) = 2π/T
Tốc độ và gia tốc cực đại: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Năng lượng: E = ½·k·A²

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Động họcTrung bình

Một chiếc ô tô chạy với vận tốc 60 km/h phanh với gia tốc chậm dần không đổi 6,5 m/s² cho đến khi dừng. Tìm quãng đường phanh s.

v₀ = 60 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.Động họcKhó

Một tên lửa mô hình được phóng thẳng lên từ trạng thái nghỉ. Động cơ cho nó gia tốc hướng lên không đổi 24 m/s² trong 1,5 s, sau đó động cơ tắt và tên lửa chuyển động tự do. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm độ cao lớn nhất h_max mà tên lửa đạt được.

a = 24 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Các định luật NewtonTrung bình

Một vật 13 kg trượt xuống một mặt dốc nghiêng 30° so với phương ngang. Hệ số ma sát trượt là 0,25. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của vật dọc theo mặt dốc.

m = 13 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Các định luật NewtonKhó

Hai khối trên sàn nằm ngang được nối bằng một sợi dây nhẹ nằm ngang. Một lực nằm ngang 45 N kéo khối 4 kg phía trước; khối 6 kg bị kéo theo phía sau. Hệ số ma sát trượt là 0,3 cho cả hai khối. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc a của các khối.

m₁ = 6 kgm₂ = 4 kgF = 45 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Chuyển động némTrung bình

Một quả bóng được phóng từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ 40 m/s và phải rơi cách 75 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm góc nhỏ hơn trong hai góc phóng có thể θ.

v₀ = 40 m/sR = 75 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Chuyển động némKhó

Một quả bóng được phóng với tốc độ 28 m/s và hợp góc 25° so với phương ngang từ đỉnh một vách đá cao 40 m. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Nó chạm đất theo góc α nào so với phương ngang, nghiêng xuống dưới?

v₀ = 28 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Chuyển động trònTrung bình

Một ô tô 1600 kg chạy qua đỉnh một chỗ lồi trên đường với tốc độ 18 m/s. Đỉnh của chỗ lồi là một cung tròn bán kính 65 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm phản lực pháp tuyến N của mặt đường lên ô tô ở đỉnh.

m = 1600 kgv = 18 m/sr = 65 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Chuyển động trònKhó

Một quả cầu 1,1 kg trên sợi dây nhẹ dài 0,9 m được quay trong một vòng tròn thẳng đứng. Tại điểm thấp nhất tốc độ của nó là 11 m/s. Bỏ qua sức cản không khí và dùng g = 9,81 m/s². Tìm lực căng T_top trong dây tại điểm cao nhất.

m = 1,1 kgr = 0,9 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Công và năng lượngTrung bình

Một vật 1 kg trượt 19 m xuống một mặt dốc nghiêng 40° so với phương ngang, với hệ số ma sát trượt là 0,4. Tìm công W_f chống lại ma sát.

m = 1 kgθ = 40°μ = 0,4d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Công và năng lượngKhó

Một lò xo có độ cứng 3000 N/m ở chân một dốc nghiêng 35° bị nén 10 cm áp vào một khối 2 kg rồi được thả ra. Hệ số ma sát trượt giữa khối và dốc là 0,3. Khối đi được bao xa d lên dốc từ điểm thả trước khi dừng? (Bỏ qua đoạn đường ngắn mà lò xo đẩy, tức là tính ma sát và trọng lực trên toàn bộ quãng đường d.)

m = 2 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Động lượng và va chạmTrung bình

Một xe trượt 4 kg chạy với 2 m/s va chạm trực diện hoàn toàn đàn hồi với một xe trượt 1 kg đang đứng yên trên đường ray không ma sát. Tìm vận tốc v′₁ của xe trượt thứ nhất sau va chạm (dương theo chiều ban đầu của nó).

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Động lượng và va chạmKhó

Một ô tô 1600 kg đâm vào một xe 1000 kg đang đỗ. Hai xe dính vào nhau và trượt 10 m trước khi dừng. Hệ số ma sát trượt giữa lốp và mặt đường là 0,75. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm tốc độ v₁ của xe thứ nhất ngay trước va chạm.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1000 kgd = 10 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Chuyển động quay của vật rắnTrung bình

Một thanh mảnh đồng chất khối lượng 9 kg và chiều dài 0,9 m có chốt ở một đầu và được giữ nằm ngang. Nó được thả từ trạng thái nghỉ. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm gia tốc góc α của nó ngay sau khi thả.

m = 9 kgL = 0,9 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Chuyển động quay của vật rắnKhó

Một vành mỏng lăn không trượt xuống một mặt dốc nghiêng 35° so với phương ngang. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hệ số ma sát tĩnh nhỏ nhất μ_s để nó không bị trượt.

θ = 35°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 3 kW ở 1440 rpm dẫn động một trục vít 4 đầu mối. Bánh vít có 40 răng và bộ truyền có hiệu suất 60%. Tìm mô-men đầu ra T_w trên trục bánh vít.

z = 4N_w = 40n = 1440 rpmP = 3 kWη = 60%

T_w = N·m

16.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (20 răng) trên trục vào quay ở 1500 rpm và dẫn động bánh răng B (60 răng). Bánh răng C (12 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 200 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng N_D?

n_in = 1500 rpmA = 20B = 60C = 12n_out = 200 rpm

N_D =

17.Lò xo và con lắcTrung bình

Một vật 1,6 kg trên lò xo có k = 120 N/m được kéo 7 cm theo chiều dương và thả từ trạng thái nghỉ tại t = 0. Tìm độ dời x của nó so với vị trí cân bằng tại t = 0,1 s (có dấu).

m = 1,6 kgk = 120 N/mA = 7 cmt = 0,1 s

x = cm

18.Lò xo và con lắcKhó

Một viên đạn 8 g chuyển động với tốc độ 100 m/s găm vào một khối 3,5 kg đặt trên mặt không ma sát. Khối được gắn vào một lò xo nằm ngang có k = 1600 N/m. Tìm biên độ A của dao động tạo thành, theo cm.

m = 8 gv = 100 m/sM = 3,5 kgk = 1600 N/m

A = cm

19.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 3 chu kỳ sau bởi đỉnh 19,5 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 19,5 mmn = 3

ζ =

20.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào lò xo k₃ = 100 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 20 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Động học

Đáp số: s = 21,37 m

Chuyển động với gia tốc không đổi: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² và v² = v₀² + 2·a·s. Chọn phương trình chứa ba đại lượng bạn biết và đại lượng bạn muốn tìm, và giữ dấu nhất quán với một chiều dương.

Đơn vị

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Quãng đường phanh

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·6,5) = 21,37 m

Đáp số

s = 21,37 m

2.Động học

Đáp số: h_max = 93,06 m

Giai đoạn có động cơ

v₁ = 24·1,5 = 36 m/s

h₁ = ½·24·1,5² = 27 m

Bay tự do đi lên

Ở đỉnh vận tốc bằng không.

Δh = v₁²/(2g) = 36²/(2·9,81) = 66,06 m

h_max = 27 + 66,06 = 93,06 m

Đáp số

h_max = 93,06 m

3.Các định luật Newton

Đáp số: a = 2,781 m/s²

Định luật hai Newton: hợp lực tác dụng lên một vật bằng khối lượng nhân với gia tốc, ΣF = m·a. Vẽ sơ đồ vật thể tự do, chọn một chiều dương dọc theo chuyển động, và cộng mọi lực theo chiều đó: lực tác dụng, ma sát μ·N ngược chiều chuyển động, và các thành phần của trọng lực.

Các lực dọc theo mặt dốc

Chiều xuống dốc là dương.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Gia tốc

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Đáp số

a = 2,781 m/s²

4.Các định luật Newton

Đáp số: a = 1,557 m/s²

Toàn hệ

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (45 − 29,43)/10 = 1,557 m/s²

Đáp số

a = 1,557 m/s²

5.Chuyển động ném

Đáp số: θ = 13,69 °

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Công thức tầm xa

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·75/40² = 0,4598

Góc

2θ = 27,38° → θ = 13,69°

Đáp số

θ = 13,69°

Nghiệm còn lại là 90° − θ = 76,31°.

6.Chuyển động ném

Đáp số: α = 50,16 °

Chuyển động ném: khi bỏ qua lực cản không khí, x = v_xt và y = h + v_yt − ½gt². Hai phương độc lập với nhau, chỉ chung thời gian.

Phân tích vận tốc ban đầu

v_x = 28·cos 25° = 25,38 m/s

v_y0 = 28·sin 25° = 11,83 m/s

Tốc độ thẳng đứng khi chạm đất

Năng lượng hoặc v² = v₀² + 2as theo phương thẳng đứng.

v_y = √(11,83² + 2·9,81·40) = 30,41 m/s

Góc chạm đất

tan α = v_y/v_x = 30,41/25,38 → α = 50,16°

Đáp số

α = 50,16°

7.Chuyển động tròn

Đáp số: N = 7721 N

Chuyển động tròn đều: một vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng vào tâm a = v²/r, nên cần một hợp lực hướng vào trong F = m·v²/r. Lực đó do một thứ có thật cung cấp: ma sát, lực căng, trọng lực hoặc phản lực pháp tuyến.

Các lực tại đỉnh

Chiều về phía tâm (xuống) là dương.

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9,81 − 1600·18²/65 = 15696 − 7975 = 7721 N

Đáp số

N = 7721 N

Ô tô cảm thấy nhẹ hơn: mặt đường đẩy lên nhỏ hơn trọng lượng.

8.Chuyển động tròn

Đáp số: T_top = 93,93 N

Vận tốc tại đỉnh

Động năng chuyển thành thế năng trên độ cao 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·0,9 = 85,68 m²/s²

Các lực tại đỉnh

Lực căng và trọng lực đều hướng xuống, về phía tâm.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·85,68/0,9 − 1,1·9,81 = 93,93 N

Đáp số

T_top = 93,93 N

9.Công và năng lượng

Đáp số: W_f = 57,11 J

Nguyên lý công–năng: độ biến thiên động năng bằng công của mọi lực. Viết trọng lực và lò xo thành thế năng (mgh và ½kx²) biến nó thành một phương trình cân bằng: năng lượng ban đầu = năng lượng cuối + năng lượng mất do ma sát (μN·d).

Lực ma sát

N = mg·cos θ = 9,81·0,766 = 7,515 N

F = μN = 0,4·7,515 = 3,006 N

Công chống ma sát

W_f = F·d = 3,006·19 = 57,11 J

Đáp số

W_f = 57,11 J

10.Công và năng lượng

Đáp số: d = 0,9331 m

Thế năng đàn hồi

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

Cân bằng năng lượng dọc mặt dốc

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(19,62·(0,5736 + 0,3·0,8192)) = 0,9331 m

Đáp số

d = 0,9331 m

11.Động lượng và va chạm

Đáp số: v′₁ = 1,2 m/s

Bảo toàn động lượng: khi không có ngoại lực tác dụng trong lúc va chạm, tổng động lượng Σm·v trước bằng tổng sau. Vận tốc có hướng, nên hãy chọn một chiều dương và gán dấu trừ cho các vận tốc ngược chiều. Trong va chạm đàn hồi, động năng cũng được bảo toàn; trong va chạm hoàn toàn không đàn hồi, các vật dính vào nhau.

Va chạm đàn hồi với vật bị va chạm đứng yên

Giải đồng thời bảo toàn động lượng và năng lượng cho hai kết quả này.

v′₁ = (4 − 1)/(4 + 1)·2 = 1,2 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1)·2 = 3,2 m/s

Đáp số

v′₁ = 1,2 m/s

12.Động lượng và va chạm

Đáp số: v₁ = 19,71 m/s

Tốc độ sau va chạm

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·10) = 12,13 m/s

Động lượng trong va chạm

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·12,13/1600 = 19,71 m/s

Đáp số

v₁ = 19,71 m/s

(70,96 km/h)

13.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: α = 16,35 rad/s²

Quay quanh một trục cố định: tổng các mô-men quanh trục bằng I·α (ΣM = I·α), giống như ΣF = m·a cho chuyển động tịnh tiến. Ở dạng năng lượng, một mô-men T làm vật quay một góc θ (tính bằng radian) sinh công T·θ, làm thay đổi động năng ½·I·ω²; trọng lực thêm vào hoặc lấy đi m·g·Δh của khối tâm. Công suất là P = T·ω.

Mô-men quanh chốt

Tại thời điểm thả ω = 0, nên không có gia tốc hướng tâm và tâm có gia tốc thẳng xuống.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,9) = 16,35 rad/s²

Đáp số

α = 16,35 rad/s²

14.Chuyển động quay của vật rắn

Đáp số: μ_s = 0,3501

Lăn và mô-men động lượng: vật lăn không trượt có v = ω·r, nên động năng của nó là ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Xuống dốc, điều đó cho a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Khi không có mô-men ngoại lực quanh một trục, mô-men động lượng quanh trục đó được bảo toàn, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, kể cả khi động năng bị mất.

Các phương trình chuyển động

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Gia tốc

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 35°/2 = 2,813 m/s²

Ma sát cần thiết

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 35°/2 = 0,3501

Đáp số

μ_s = 0,3501

15.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_w = 119,4 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 1440·4/40 = 144 rpm

Mômen xoắn ra

ω_w = 2π·144/60 = 15,08 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·3000/15,08 = 119,4 N·m

Đáp số

T_w = 119,4 N·m

16.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N_D = 30

Tốc độ của trục trung gian

n_B = n_C = 1500·20/60 = 500 rpm

Số răng của bánh răng D

N_D = C·n_C/n_out = 12·500/200 = 30

Đáp số

N_D = 30

17.Lò xo và con lắc

Đáp số: x = 4,535 cm

Dao động điều hòa: một vật khối lượng m trên lò xo độ cứng k dao động với tần số góc ω = √(k/m) và chu kỳ T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Một con lắc đơn chiều dài L có T = 2π·√(L/g). Với biên độ A, tốc độ lớn nhất là A·ω, gia tốc lớn nhất là A·ω² và năng lượng là ½·k·A².

Tần số góc

ω = √(120/1,6) = 8,66 rad/s

ω·t = 8,66·0,1 = 0,866 rad

Độ dời

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(0,866) = 4,535 cm

Đáp số

x = 4,535 cm

18.Lò xo và con lắc

Đáp số: A = 1,068 cm

Tốc độ sau va chạm

V = m·v/(m + M) = 0,008·100/3,508 = 0,2281 m/s

Tần số góc

ω = √(k/(m + M)) = √(1600/3,508) = 21,36 rad/s

Biên độ

A = V/ω = 0,2281/21,36 = 0,01068 m = 1,068 cm

Đáp số

A = 1,068 cm

19.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,04989

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/3)·ln(50/19,5) = 0,3139

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

Đáp số

ζ = 0,04989

20.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 7,222 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 20 + 50 = 70 kN/m

k_eq = 70·100/(70 + 100) = 41,18 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(41176/20) = 45,37 rad/s

f_n = 45,37/(2π) = 7,222 Hz

Đáp số

f_n = 7,222 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics