Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản (gối cố định tại A, gối con lăn tại B) chịu tải thay đổi tuyến tính tăng từ không tại A đến 20 kN/m tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B tại gối.

L = 5 mw₀ = 20 kN/m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Một dầm ghép được ngàm vào tường tại A, có một khớp bản lề bên trong tại C (cách A 2,5 m) và tựa trên một gối con lăn tại D (cách A 6 m). Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 4,5 m, một tải phân bố đều w trên toàn bộ đoạn CD và một lực tập trung Q tại vị trí cách A 2 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 30 kN tại 4,5 mw = 4 kN/m từ 2,5 đến 6 mQ = 65 kN tại 2 m

M_A = kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 3 mB cách A 7 mtải thẳng đứng = 45 kN

F_AB = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 2 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 35 kNtải ngang = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 12 kN/m từ 0 đến 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mP = 30 kN tại 3 mw = 5 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 240 mm và đường kính trong d = 220 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 240 mmd = 220 mm

r = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 100 mm × 240 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 30 mm và cao 50 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 96 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 240 mmlỗ khoét: 30 × 50 mmtâm lỗ: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 12 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 17 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 17 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³sét: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 2,5 m có C_c = 0,35, C_r = 0,05 và e₀ = 0,85. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 105 kPa và áp lực tiền cố kết là 155 kPa. Một tòa nhà mới thêm 45 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 2,5 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 0,85σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Trong thí nghiệm nén cố kết oedometer ở phòng thí nghiệm, một mẫu sét dày 20 mm, thoát nước ở đỉnh và đáy, đạt 50% cố kết sau 8 phút. Ngoài hiện trường, cùng loại sét đó tạo thành một lớp dày 5 m. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Lớp ngoài hiện trường mất bao nhiêu ngày t để đạt 50% cố kết?

h_lab = 20 mmt_lab = 8 minH = 5 mhiện trường: thoát nước một phía

t = ngày

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 3 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 3 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với 150 L/s qua một ống dài 200 m, đường kính trong 300 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,022 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 100 m, đường kính trong 150 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,02. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Chênh lệch mực nước Δz giữa các bể là bao nhiêu để có lưu lượng 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 4 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 2,5 m. Hệ số Manning n = 0,015 và độ dốc đáy là S = 0,0008. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 4 my = 2,5 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 2 m và mái dốc 2:1 (ngang:đứng) phải tải 20 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 1,5 m. Hệ số Manning n = 0,015. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 20 m³/sb = 2 my = 1,5 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Trong một thử nghiệm, một máy bơm cấp 60 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 18 m trong khi trục của nó nhận 17,7 kW. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm hiệu suất bơm η theo phần trăm.

Q = 60 L/sH = 18 mP_shaft = 17,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 40 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 9 m. Ống dài 200 m, đường kính trong 150 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,02; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 8 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Bồn phía trên đóng kín và không khí phía trên nước ở áp suất dư 300 kPa. Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một niên kim trả €1 000 vào cuối mỗi năm trong 18 năm. Lãi suất là 6% mỗi năm. Tìm giá trị hiện tại PV của niên kim.

A = €1 000i = 6%n = 18

PV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn muốn có €25 000 sau 8 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 4,2% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.

FV = €25 0004,2% / 12N = 96

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €200 000 hôm nay. Nó tạo ra €18 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 1% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 9%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €18 000g = 1%r = 9%

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €25 000 và mang lại €15 000, €17 500, €12 000 vào cuối các năm 1 đến 3. Tìm tỷ suất hoàn vốn nội bộ IRR theo phần trăm.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 17 500CF₃ = 12 000

IRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 70 và 130,75 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 130,75

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

Chiều cao X của nam giới và Y của nữ giới trong một nhóm là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 180 cm và độ lệch chuẩn 10 cm, Y có trung bình 170 cm và độ lệch chuẩn 12 cm. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 33,33 kN

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3,333

R_B = 33,33 kN

R_A = 50 − 33,33 = 16,67 kN

Đáp số

R_B = 33,33 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 179,6 kN·m

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình. Một khớp bản lề bên trong không truyền được mô-men uốn, điều này cho thêm một phương trình: mô-men đối với khớp của các lực ở mỗi phía bằng không.

Phần CD

Khớp không có mô-men, nên mô-men đối với C chỉ trên CD phải cân bằng.

W = 4·3,5 = 14 kN tại 1,75 m từ C

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 30·2 + 14·1,75

R_D = 24,14 kN

V_C = 44 − 24,14 = 19,86 kN

Phần AC

Lực khớp V_C tác dụng hướng xuống lên AC (bằng và ngược chiều với tác dụng của nó lên CD).

R_A = 65 + 19,86 = 84,86 kN

M_A = 65·2 + 19,86·2,5 = 179,6 kN·m

Đáp số

M_A = 179,6 kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −14,28 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·7 → C_y = 39,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 39,38 = 5,625 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5,625/0,3939 = −14,28 kN

Đáp số

F_AB = −14,28 kN (nén)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −38,89 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·2 − 5·2 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 7,5 = 27,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27,5/0,7071 = −38,89 kN

Đáp số

F_AB = −38,89 kN (nén)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 37,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 30·2,5 − 12·2,5·1,25 = 37,5 kN·m

Đáp số

M_x = 37,5 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 30 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 5·4·2

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 32,5 = 17,5 kN

Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 17,5·3 − 5·3·1,5 = 30 kN·m

Đáp số

M_x = 30 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 43,52 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 43,52 mm

Đáp số

δ_max = 43,52 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·11000·5,556) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 94,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Đáp số

P_cr = 94,2 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 12,69 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Đáp số

σ_cr = 12,69 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 81,39 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 7226 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,787 × 10⁷ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(4,787 × 10⁷/7226) = 81,39 mm

Đáp số

r = 81,39 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (24000·120 − 1500·96)/(24000 − 1500) = 121,6 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,6² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

30·50³/12 + 1500·−25,6² = 1,296 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 107,9 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·11 = 107,9 kPa

Đáp số

u = 107,9 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 39,24 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Đáp số

u = 39,24 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 10,47 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 105 + 45 = 150 kPa ≤ 155 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·2,5/(1 + 0,85)·log₁₀(150/105) = 10,47 mm

Đáp số

S = 10,47 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 1389 ngày

Các đường thoát nước

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 5 m

Quy đổi thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v với cùng T_v và c_v ở phòng thí nghiệm và hiện trường.

t_field = 8·(5/0,01)² = 2 × 10⁶ min

t_field = 2 × 10⁶/1440 = 1389 ngày

Đáp số

t = 1389 ngày

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 312,7 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Đáp số

F = 312,7 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 82,77 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Đáp số

F = 82,77 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 3,366 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Vận tốc trung bình

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 2,122²/(2·9,81) = 0,2295 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,3)·2,122²/(2·9,81) = 3,366 m

Đáp số

h_f = 3,366 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Δz = 10,24 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,02·100/0,15 = 13,33

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Tổng tổn thất cột áp

h_f = 13,33·0,5876 = 7,834 m

h_m = 4,1·0,5876 = 2,409 m

Δz = h_f + h_m = 10,24 m

Đáp số

Δz = 10,24 m

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 47,63 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·2,5)·2,5 = 19,38 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,5·√(1 + 1,5²) = 13,01 m

R = A/P = 1,489 m

Vận tốc

V = (1/0,015)·1,489^2/3·0,0008^1/2 = 2,459 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 19,38·2,459 = 47,63 m³/s

Đáp số

Q = 47,63 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,001953 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1,5)·1,5 = 7,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 8,708 m

R = A/P = 0,8613 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·20/(7,5·0,9052) = 0,04419

S = 0,04419² = 0,001953

Đáp số

S = 0,001953

Đó là độ hạ 1,953 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: η = 59,86 %

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·18 = 10,59 kW

Hiệu suất

η = P_h/P_shaft = 10,59/17,7 = 59,86%

Đáp số

η = 59,86%

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: H = 48,63 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 8)·0,2611 = 9,053 m

Cột áp áp suất

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Cột áp của bơm

Cả hai mặt nước thực tế đều đứng yên, nên không có số hạng cột áp vận tốc.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 30,58 + 9,053 = 48,63 m

Đáp số

H = 48,63 m

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 10828 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Hệ số niên kim

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3503)/0,06 = 10,83

Giá trị hiện tại

PV = 1 000·10,83 = €10 827,60

Đáp số

PV = €10 827,60

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 219,6 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·8 = 96

Khoản tiền gửi

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0035/(1,399 − 1) = €219,56

Đáp số

A = €219,56

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 25000 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị của các dòng tiền

PV = 18 000/(0,09 − 0,01) = 225 000,00

NPV

NPV = 225 000,00 − 200 000 = €25 000,00

Đáp số

NPV = €25 000,00

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: IRR = 36,81 %

Kẹp IRR

NPV giảm khi tỷ suất tăng, nên IRR nằm giữa một tỷ suất cho NPV dương và một tỷ suất cho NPV âm.

NPV(35%) = 590,61

NPV(40%) = −983,97

Thu hẹp dần

Nội suy tuyến tính cho ước lượng đầu tiên; lặp lại nó (hoặc dùng hàm IRR của máy tính) cho tỷ suất chính xác.

IRR ≈ 35 + 5·590,61/(590,61 − (−983,97)) = 36,88%

chính xác: NPV(36,81%) = 0 → IRR = 36,81%

Đáp số

IRR = 36,81%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9571

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Diện tích ở giữa

P = Φ(2,05) − Φ(−2) = 0,9798 − 0,02275 = 0,9571

Đáp số

P = 0,9571

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7389

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Đáp số

P = 0,7389

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil