Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 6 mP₁ = 55 kN tại 3 mP₂ = 55 kN tại 5 m

R_A = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 20 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 3 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 8 mw₀ = 20 kN/mP = 45 kN tại 3 m

M_A = kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 2 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 40 kN

F_AC = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓D: 15 kN ↓F: 25 kN →H: 25 kN ↓

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm lực cắt V_x tại mặt cắt x = 6 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 8 mw = 2 kN/m từ 0 đến 8 mx = 6 m

V_x = kN

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm khoảng cách x_c từ A đến điểm đổi dấu mô-men giữa hai gối (nơi mô-men uốn đổi dấu).

L = 6 mw = 12 kN/m từ 0 đến 6 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m

x_c = m

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm công-xôn dài L ngàm tại A và chịu lực tập trung P tại vị trí cách A một đoạn a = 1 m. Tìm độ võng δ_B tại đầu tự do B.

P = 24 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (thép)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w và một tải tập trung P ở giữa nhịp. Dùng nguyên lý xếp chồng, tìm độ võng giữa nhịp δ_max.

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (thép)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 85 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 85 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ U đặt với mặt hở hướng lên: một bản đáy rộng 180 mm với hai cánh đứng, tổng chiều cao 150 mm. Đáy và các cánh đều dày 8 mm. Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

b = 180 mmh = 150 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 35 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15,5 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 16 kN/m³cát: γ_sat = 18,5 kN/m³sét: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 4 m có C_c = 0,3, C_r = 0,03 và e₀ = 0,9. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 85 kPa và áp lực tiền cố kết là 155 kPa. Một tòa nhà mới thêm 190 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 4 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 0,9σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 3 m có hệ số cố kết c_v = 0,5 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 70%, nhân tố thời gian là T_v = 0,403. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 70% cố kết?

H = 3 mc_v = 0,5 m²/nămU = 70%T_v = 0,403thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 3 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 3 m nằm trong thành bể chứa glycerin, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với vận tốc trung bình 2,7 m/s qua một ống dài 300 m, đường kính trong 50 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,025 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

V = 2,7 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 100 m, đường kính trong 100 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,022. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 2 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 2) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Chênh lệch mực nước Δz giữa các bể là bao nhiêu để có lưu lượng 12 L/s?

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một kênh xây gạch hình thang có chiều rộng đáy 1 m và mái dốc 1,5:1 (ngang:đứng). Nước chảy đều sâu 0,5 m. Hệ số Manning n = 0,015 và độ dốc đáy là S = 0,0008. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

b = 1 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một kênh bê tông chưa hoàn thiện hình thang có chiều rộng đáy 2,5 m và mái dốc 3:1 (ngang:đứng) phải tải 63 m³/s ở dòng chảy đều với độ sâu 2,4 m. Hệ số Manning n = 0,014. Tìm độ dốc đáy yêu cầu S (theo m/m).

Q = 63 m³/sb = 2,5 my = 2,4 mz = 3n = 0,014

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm cấp 50 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 18 m. Hiệu suất bơm là 82% và động cơ điện dẫn động nó có hiệu suất 92%. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất điện P_el mà động cơ tiêu thụ, theo kW.

Q = 50 L/sH = 18 mη_pump = 82%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 80 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 25 m. Ống dài 300 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,025; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 8 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Bồn phía trên đóng kín và không khí phía trên nước ở áp suất dư 300 kPa. Tìm cột áp H mà bơm phải bổ sung.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Một thẻ tín dụng tính lãi suất danh nghĩa 19,5% mỗi năm, ghép lãi hằng ngày. Tìm lãi suất thực hằng năm EAR theo phần trăm.

r = 19,5%m = 365

EAR = %

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Bạn muốn có €30 000 sau 15 năm. Bạn gửi cùng một số tiền vào cuối mỗi tháng vào một tài khoản trả lãi 2,4% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tìm khoản tiền gửi hằng tháng A.

FV = €30 0002,4% / 12N = 180

A = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €400 000 hôm nay. Nó tạo ra €48 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 1% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 11%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €48 000g = 1%r = 11%

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €80 000 hôm nay. Dòng tiền của nó là €11 000 vào cuối năm thứ 1 và tăng 2% mỗi năm cho đến dòng tiền cuối cùng vào cuối năm 8. Chi phí vốn là 12%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €11 000g = 2%n = 8r = 12%

NPV = €

29.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,9090. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,9090

z =

30.Phân phối chuẩnKhó

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 36,67 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3 + 55·5

R_B = 440/6 = 73,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 73,33 = 36,67 kN

Đáp số

R_A = 36,67 kN

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 561,7 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·20·8 = 80 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Mô-men đối với tường

M_A = W·x̄ + P·a = 80·5,333 + 45·3 = 561,7 kN·m

Đáp số

M_A = 561,7 kN·m

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 26,67 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 13,33 = 26,67 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,33/0,4472 = −29,81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−29,81)·0,8944 = 26,67 kN

Đáp số

F_AC = 26,67 kN (kéo)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh CG

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút G

FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 47,81 kN (T), BC: 47,81 kN (T), CD: 40,94 kN (T), DE: 40,94 kN (T), FG: 51,88 kN (C), GH: 51,88 kN (C), AF: 38,02 kN (C), HE: 68,23 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 6,771 kN (T), HC: 18,23 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: CG

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: V_x = −4 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, đặt tại x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Cắt tại x = 6 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = R_A − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)

V_x = 8 − 2·6 = −4 kN

Đáp số

V_x = −4 kN

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: x_c = 3 m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, đặt tại x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·6·3

R_B = 216/4 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 54 = 18 kN

Mô-men bằng không

Giữa hai gối M(x) = R_A·x − w·x²/2. Ngoài x = 0, nó bằng không tại x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·18/12 = 3 m

Đáp số

x_c = 3 m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_B = 2,778 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 24000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Độ võng ở đầu tự do

Độ võng tại tải cộng góc xoay tại tải nhân với chiều dài còn lại.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,111 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001667 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,778 mm

Đáp số

δ_B = 2,778 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 4,282 mm

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·5000³/(48·1,68 × 10¹³) = 1,86 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 2,422 mm

Cộng lại

δ_max = 1,86 + 2,422 = 4,282 mm

Đáp số

δ_max = 4,282 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 9,922 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Đáp số

P_cr = 9,922 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 64,39 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 64,39 mm

Đáp số

d = 64,39 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 173,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 8,783 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành các hình chữ nhật

Lấy đáy với toàn bộ chiều rộng và hai cánh phía trên nó (cao h − t), để không có phần nào bị tính hai lần.

nền: A₁ = 180·8 = 1440 mm², y₁ = 4 mm

hai cánh: A₂ = 2·8·142 = 2272 mm², y₂ = 8 + 142/2 = 79 mm

Trọng tâm

ȳ = (1440·4 + 2272·79)/3712 = 49,91 mm

Định lý trục song song

nền: 180·8³/12 + 1440·(4 − 49,91)² = 3,042 × 10⁶ mm⁴

hai cánh: 2·8·142³/12 + 2272·(79 − 49,91)² = 5,741 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,042 × 10⁶ + 5,741 × 10⁶

I_x = 8,783 × 10⁶ mm⁴ = 8,783 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 8,783 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 6,798 kN·m

Trọng tâm

ȳ = (2600·265 + 2600·130)/5200 = 197,5 mm

cạnh trên: c = 270 − 197,5 = 72,5 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 260·10³/12 + 2600·67,5² + 10·260³/12 + 2600·67,5² = 3,836 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 100·3,836 × 10⁷/72,5 = 52,91 kN·m

cạnh dưới: M = 35·3,836 × 10⁷/197,5 = 6,798 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 6,798 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 6,798 kN·m

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 144 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 19,5·5 = 144 kPa

Đáp số

σ = 144 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 53,96 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Đáp số

u = 53,96 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 173,7 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 85 + 190 = 275 kPa > 155 kPa

Độ lún

Nén lại đến σ′_p, nén nguyên sinh sau đó.

S = 0,03·4/(1 + 0,9)·log₁₀(155/85) + 0,3·4/(1 + 0,9)·log₁₀(275/155)

S = 16,48 + 157,3 = 173,7 mm

Đáp số

S = 173,7 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 7,254 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 3 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3²/0,5 = 7,254 năm

Đáp số

t = 7,254 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 156,3 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·3,75 = 156,3 kN

Đáp số

F = 156,3 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 162,2 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·7,5 = 162,2 kN

Đáp số

F = 162,2 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 55,73 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,05)·2,7²/(2·9,81) = 55,73 m

Đáp số

h_f = 55,73 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Δz = 3,105 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Tổng tổn thất cột áp

h_f = 22·0,119 = 2,618 m

h_m = 4,1·0,119 = 0,4878 m

Δz = h_f + h_m = 3,105 m

Đáp số

Δz = 3,105 m

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 0,7593 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·0,5)·0,5 = 0,875 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 2,803 m

R = A/P = 0,3122 m

Vận tốc

V = (1/0,015)·0,3122^2/3·0,0008^1/2 = 0,8678 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 0,875·0,8678 = 0,7593 m³/s

Đáp số

Q = 0,7593 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,0009945 m/m

Hình học

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·2,4)·2,4 = 23,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 17,68 m

R = A/P = 1,317 m

Giải Manning tìm S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·63/(23,28·1,201) = 0,03154

S = 0,03154² = 0,0009945

Đáp số

S = 0,0009945

Đó là độ hạ 0,9945 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_el = 11,7 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·18 = 8,829 kW

Công suất trên trục

P_shaft = 8,829/0,82 = 10,77 kW

Công suất điện

P_el = 10,77/0,92 = 11,7 kW

Đáp số

P_el = 11,7 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: H = 70,62 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,3305 = 15,04 m

Cột áp áp suất

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Cột áp của bơm

Cả hai mặt nước thực tế đều đứng yên, nên không có số hạng cột áp vận tốc.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 25 + 30,58 + 15,04 = 70,62 m

Đáp số

H = 70,62 m

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: EAR = 21,52 %

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất mỗi kỳ

r/m = 0,195/365 = 0,0005342

Ghép lãi trong một năm

EAR = (1 + 0,0005342)³⁶⁵ − 1 = 1,215 − 1 = 21,52%

Đáp số

EAR = 21,52%

EAR luôn cao hơn lãi suất danh nghĩa khi lãi được ghép nhiều hơn một lần mỗi năm.

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: A = 138,6 €

Lãi suất tháng và số khoản gửi

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·15 = 180

Khoản tiền gửi

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,002/(1,433 − 1) = €138,63

Đáp số

A = €138,63

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 80000 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị của các dòng tiền

PV = 48 000/(0,11 − 0,01) = 480 000,00

NPV

NPV = 480 000,00 − 400 000 = €80 000,00

Đáp số

NPV = €80 000,00

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: NPV = −22053 €

Giá trị hiện tại của niên kim tăng trưởng

((1,02)/(1,12))⁸ = 0,4732

PV = 11 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,4732) = 57 946,51

NPV

NPV = 57 946,51 − 80 000 = −€22 053,49

Đáp số

NPV = −€22 053,49

NPV âm, nên dự án sinh lời ít hơn mức yêu cầu.

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,69

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,9090)/2 = 0,9545

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,9545 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,69

Đáp số

z = 1,69

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil