Luyện thi FE Xây dựng: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 30 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ứng suất hữu hiệu trong đất

Ứng suất toàn phần: σ = Σγ_i·h_i
Áp suất nước lỗ rỗng: u = γ_w·(z − z_w)
Ứng suất hữu hiệu: σ′ = σ − u
Nước: γ_w = 9,81 kN/m³

Lún cố kết

Cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Ứng suất cuối: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Quá cố kết, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Quá cố kết, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Tỉ số quá cố kết: OCR = σ′_p/σ′₀
Thời gian cố kết: t = T_v·H_dr²/c_v
Đường thoát nước: H_dr = H/2 (thoát nước hai phía), H (thoát nước một phía)
Nhân tố thời gian: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Lực thủy tĩnh

Áp suất tại độ sâu: p = ρgh
Lực lên tường thẳng đứng: F = ρg·h_c·A
Tâm áp lực: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Hình chữ nhật: I_c = bH³/12

Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Số Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Chế độ chảy: chảy tầng dưới Re ≈ 2000, chảy rối trên Re ≈ 4000
Vận tốc trung bình: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Tổn thất cục bộ: h_m = ΣK·V²/(2g)
Giá trị K thường gặp: lối vào 0,5, lối ra 1,0, khúc cua 90° ≈ 0,3
Độ giảm áp suất: Δp = ρ·g·h_f
Hai bể chứa hở: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Cửa ra tự do: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Dòng chảy hở (Manning)

Phương trình Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Lưu lượng: Q = A·V
Bán kính thủy lực: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y
Hình thang (mái dốc z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Ống tròn, đầy hoặc đầy một nửa: R = D/4
Độ dốc yêu cầu: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Máy bơm và công suất bơm

Công suất thủy lực: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Công suất trên trục: P_shaft = P_h/η_pump
Công suất điện: P_el = P_shaft/η_motor
Cột áp của bơm: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Tổn thất của hệ thống: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Giá trị thời gian của tiền

Giá trị tương lai: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Giá trị hiện tại: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Nhiều kỳ trong một năm: i = r/m, N = m·n
Niên kim, giá trị hiện tại: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Niên kim, giá trị tương lai: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Phương pháp

Vẽ một dòng thời gian với mọi dòng tiền và thời điểm của chúng.
Khớp lãi suất với kỳ hạn: lãi suất tháng cho thanh toán hằng tháng.
Dùng FV = PV·(1 + i)ⁿ cho các khoản đơn lẻ và công thức niên kim cho các khoản thanh toán bằng nhau.
Kiểm tra dấu và bậc độ lớn của đáp án.

NPV và IRR

Giá trị hiện tại ròng: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Dòng tiền đều: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tỷ suất hoàn vốn nội bộ: r tại đó NPV = 0
Quyết định: chấp nhận khi NPV > 0 (hoặc IRR > tỷ suất sinh lời yêu cầu)

Phương pháp

Liệt kê mọi dòng tiền với năm của chúng; khoản đầu tư ở năm 0 là âm.
Chiết khấu từng dòng tiền: CF_t/(1 + r)^t.
Cộng chúng lại để có NPV. Dương nghĩa là dự án sinh lời nhiều hơn r.
Với IRR, tìm tỷ suất làm NPV bằng không bằng thử sai hoặc nội suy.

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 4,5 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Tìm phản lực thẳng đứng R_B, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 15 kN tại 4 mP₂ = 70 kN tại 6 m

R_B = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 6 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 4 m và tải phân bố đều w từ 4 m đến đầu tự do tại 10 m. Tìm phản lực thẳng đứng R_A, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 6 mAC = 10 mP = 35 kN tại 4 mw = 3 kN/m từ 4 đến 10 m

R_A = kN

3.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 2 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 15 kN

F_AC = kN

4.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_BC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 4 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 15 kNtải ngang = 20 kN →

F_BC = kN

5.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

20 kN @ 3 m10 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Lực cắt và mômen uốnKhó

15 kN @ 0 m45 kN @ 12 m55 kN @ 6 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện hộp chữ nhật rỗng có chiều rộng ngoài B = 300 mm, chiều cao ngoài H = 350 mm và chiều dày thành đều t = 6 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

B = 300 mmH = 350 mmt = 6 mm

r = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 10 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σ_trên ở mép trên.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_trên = MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đấtTrung bình

Với mặt cắt đất như hình, tìm ứng suất toàn phần theo phương thẳng đứng σ tại điểm X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 17 kN/m³cát: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đấtKhó

Với mặt cắt đất như hình, tìm áp suất nước lỗ rỗng u tại điểm X.

z = 10 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³cát: γ_d = 15 kN/m³cát: γ_sat = 19,5 kN/m³sét: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Lún cố kếtTrung bình

Một lớp sét quá cố kết dày 4,5 m có C_c = 0,4, C_r = 0,06 và e₀ = 0,8. Ở độ sâu giữa lớp, ứng suất hữu hiệu theo phương thẳng đứng là 105 kPa và áp lực tiền cố kết là 215 kPa. Một tòa nhà mới thêm 85 kPa ứng suất thẳng đứng ở độ sâu giữa lớp. Tìm độ lún cố kết sơ cấp S theo mm.

H = 4,5 mC_c = 0,4C_r = 0,06e₀ = 0,8σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 215 kPaΔσ = 85 kPa

S = mm

16.Lún cố kếtKhó

Một lớp sét dày 8 m có hệ số cố kết c_v = 2 m²/năm. Nó nằm trên đá không thấm, có cát phía trên, nên nước chỉ thoát ra ở đỉnh. Với cố kết trung bình 80%, nhân tố thời gian là T_v = 0,567. Lớp đó mất bao nhiêu năm t để đạt 80% cố kết?

H = 8 mc_v = 2 m²/nămU = 80%T_v = 0,567thoát nước một phía

t = năm

17.Lực thủy tĩnhTrung bình

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa nước, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 0,5 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Lực thủy tĩnhKhó

Một cửa van hình chữ nhật thẳng đứng rộng 1,5 m nằm trong thành bể chứa dầu, với mép trên nằm dưới mặt thoáng 4 m. Tìm hợp lực thủy tĩnh F tác dụng lên cửa van.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápTrung bình

Nước chảy với 75 L/s qua một ống dài 50 m, đường kính trong 250 mm. Dùng hệ số ma sát Darcy f = 0,022 và g = 9,81 m/s². Tìm tổn thất cột áp do ma sát h_f.

Q = 75 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột ápKhó

Hai bể chứa hở được nối bằng một ống dài 150 m, đường kính trong 150 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,022. Các tổn thất cục bộ là lối vào cạnh vuông (K = 0,5), 4 khúc cua (K = 0,3 mỗi khúc), một van (K = 10) và lối ra vào bể thấp hơn (K = 1,0). Dùng g = 9,81 m/s². Chênh lệch mực nước Δz giữa các bể là bao nhiêu để có lưu lượng 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Dòng chảy hở (Manning)Trung bình

Một cống thoát nước mưa bằng bê tông có đường kính trong 450 mm chảy đầy một nửa. Hệ số Manning n = 0,013 và độ dốc là S = 0,001. Tìm lưu lượng Q theo m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)Khó

Một cống bê tông có đường kính trong 250 mm (hệ số Manning n = 0,013) phải đạt vận tốc tự làm sạch 0,9 m/s khi chảy vừa đầy. Tìm độ dốc tối thiểu S (theo m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Máy bơm và công suất bơmTrung bình

Một máy bơm có hiệu suất 65% cấp 15 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) ngược với cột áp 50 m. Dùng g = 9,81 m/s². Tìm công suất trên trục P_shaft cần thiết, theo kW.

Q = 15 L/sH = 50 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Máy bơm và công suất bơmKhó

Một máy bơm chuyển 75 L/s nước (ρ = 1000 kg/m³) từ một bể hở phía dưới lên một bồn phía trên có mặt nước cao hơn 9 m. Ống dài 500 m, đường kính trong 200 mm và hệ số ma sát Darcy f = 0,015; các hệ số tổn thất cục bộ cộng lại là ΣK = 4 (đã gồm lối vào và lối ra). Dùng g = 9,81 m/s². Hiệu suất bơm là 78%. Tìm công suất trên trục P_shaft theo kW.

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4η = 78%

P_shaft = kW

25.Giá trị thời gian của tiềnTrung bình

Bạn cần €5 000 sau 3 năm. Một tài khoản trả lãi 3,6% mỗi năm, ghép lãi hằng quý. Hôm nay bạn phải gửi bao nhiêu? Tìm giá trị hiện tại PV.

FV = €5 0003,6% / 4n = 3

PV = €

26.Giá trị thời gian của tiềnKhó

Một khoản vay €150 000 được trả bằng các khoản thanh toán hằng tháng bằng nhau trong 20 năm với lãi suất 3% mỗi năm, ghép lãi hằng tháng. Tổng tiền lãi I phải trả trong suốt thời hạn khoản vay là bao nhiêu?

P = €150 0003% / 12N = 240

I = €

27.NPV và IRRTrung bình

Một dự án tốn €200 000 hôm nay. Nó tạo ra €23 000 vào cuối năm thứ nhất, và dòng tiền sau đó tăng 1% mỗi năm mãi mãi. Chi phí vốn là 10%. Tìm giá trị hiện tại ròng NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €23 000g = 1%r = 10%

NPV = €

28.NPV và IRRKhó

Một dự án tốn €40 000 và mang về €19 000, €17 000, €22 500, €22 000 vào cuối các năm từ 1 đến 4. Các dòng tiền có thể được tái đầu tư với chi phí vốn 8%. Tìm tỉ suất hoàn vốn nội bộ điều chỉnh MIRR theo phần trăm.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 19 000CF₂ = 17 000CF₃ = 22 500CF₄ = 22 000

MIRR = %

29.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 99,9 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99,9 s

P =

30.Phân phối chuẩnKhó

khối lượng các túi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Kéo ngưỡng sao cho 70% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 106,7 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 15·4 + 70·6

R_B = 480/4,5 = 106,7 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

R_A = 15 + 70 − 106,7 = −21,67 kN

Đáp số

R_B = 106,7 kN

R_A âm: gối cố định tại A phải giữ dầm xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 8,667 kN

Hợp lực của tải phân bố

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4 + 18·7

R_B = 266/6 = 44,33 kN

R_A = 53 − 44,33 = 8,667 kN

Đáp số

R_A = 8,667 kN

3.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 9 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 6 = 9 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,5547 = −10,82 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−10,82)·0,8321 = 9 kN

Đáp số

F_AC = 9 kN (kéo)

4.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_BC = −27,95 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·3 + 20·4 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 25 = −10 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,8944 = −27,95 kN

Đáp số

F_BC = −27,95 kN (nén)

5.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: D (x = 3 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 23,33, M_C = 46,67, M_D = 65 kN·m, M_E = 53,33, M_F = 31,67, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu D: M_D = 65 kN·m

6.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: F (x = 10 m)

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 51 kN, R₂ = 96 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 34, M_D = 82, M_E = 4, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu F: M_F = −90 kN·m

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 2,497 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 2,497 mm

Đáp số

δ_max = 2,497 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 40,91 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·11000·5,556) = 4,091 × 10⁷ mm⁴

I_req = 40,91 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 40,91 × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 96,89 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·2500 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Đáp số

P_cr = 96,89 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 19,83 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186,7² = 19,83 MPa

Đáp số

σ_cr = 19,83 MPa

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 137,7 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

b = 288 mm, h = 338 mm

A = BH − bh = 300·350 − 288·338 = 7656 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,451 × 10⁸ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,451 × 10⁸/7656) = 137,7 mm

Đáp số

r = 137,7 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: σ_trên = 11,15 MPa

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

bụng: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·270 + 4160·130)/8960 = 205 mm

Định lý trục song song

cánh: 240·20³/12 + 4800·(270 − 205)² = 2,044 × 10⁷ mm⁴

bụng: 16·260³/12 + 4160·(130 − 205)² = 4,683 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,044 × 10⁷ + 4,683 × 10⁷ = 6,727 × 10⁷ mm⁴

Ứng suất uốn

Mép trên cách trục h − ȳ.

y = 280 − 205 = 75 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·75/6,727 × 10⁷ = 11,15 MPa

Đáp số

σ_trên = 11,15 MPa

13.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: σ = 150 kPa

Ứng suất hữu hiệu (Terzaghi): khung hạt đất chịu σ′ = σ − u. Ứng suất toàn phần σ là trọng lượng của mọi thứ phía trên điểm đó, Σγ·h, dùng trọng lượng riêng khô phía trên mực nước ngầm và trọng lượng riêng bão hòa phía dưới. Dưới mực nước ngầm, áp suất nước lỗ rỗng là thủy tĩnh: u = γ_w·(độ sâu dưới mực nước ngầm).

Ứng suất toàn phần

Cộng trọng lượng của từng lớp đất phía trên X. Phía trên mực nước ngầm dùng trọng lượng riêng khô, phía dưới dùng trọng lượng riêng bão hòa.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 20,5·4 = 150 kPa

Đáp số

σ = 150 kPa

14.Ứng suất hữu hiệu trong đất

Đáp số: u = 49,05 kPa

Áp suất nước lỗ rỗng

Áp suất nước tăng theo độ sâu dưới mực nước ngầm.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Đáp số

u = 49,05 kPa

15.Lún cố kết

Đáp số: S = 38,63 mm

Cố kết sơ cấp của một lớp sét dày H, dùng ứng suất hữu hiệu ở giữa lớp: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Sét cố kết thông thường: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Sét quá cố kết nén lại theo C_r đến áp lực tiền cố kết σ′_p và chỉ theo C_c sau đó. Thời gian: t = T_v·H_dr²/c_v, trong đó đường thoát nước H_dr là H/2 khi nước có thể thoát ở trên và dưới, và H khi chỉ một phía thoát nước.

So sánh với áp lực tiền cố kết

σ′_f = 105 + 85 = 190 kPa ≤ 215 kPa

Độ lún

Sét vẫn nằm trên đường nén lại của nó.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·4,5/(1 + 0,8)·log₁₀(190/105) = 38,63 mm

Đáp số

S = 38,63 mm

16.Lún cố kết

Đáp số: t = 18,14 năm

Đường thoát nước

H_dr = H = 8 m

Thời gian

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·8²/2 = 18,14 năm

Đáp số

t = 18,14 năm

17.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 14,71 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN

Đáp số

F = 14,71 kN

18.Lực thủy tĩnh

Đáp số: F = 170 kN

Lực thủy tĩnh trên mặt phẳng: F = ρ·g·y_c·A. Lực tác dụng tại tâm áp lực, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), luôn nằm dưới trọng tâm.

Độ sâu trọng tâm và diện tích

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Hợp lực

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·3,75 = 170 kN

Đáp số

F = 170 kN

19.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: h_f = 0,5235 m

Dòng chảy trong ống: số Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ phân biệt chảy tầng (Re dưới khoảng 2000) với chảy rối (trên khoảng 4000). Ma sát dọc ống gây tổn thất cột áp Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Các phụ kiện, van, lối vào và lối ra gây thêm tổn thất cục bộ h_m = ΣK·V²/(2g). Giữa hai mặt thoáng của bể hở, phương trình năng lượng cho Δz = h_f + h_m, đã tính cả tổn thất lối ra K = 1.

Vận tốc trung bình

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

Cột áp vận tốc

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,25)·1,528²/(2·9,81) = 0,5235 m

Đáp số

h_f = 0,5235 m

20.Ma sát đường ống và tổn thất cột áp

Đáp số: Δz = 5,097 m

Vận tốc

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Các hệ số tổn thất

f·L/D = 0,022·150/0,15 = 22

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Tổng tổn thất cột áp

h_f = 22·0,1469 = 3,232 m

h_m = 12,7·0,1469 = 1,866 m

Δz = h_f + h_m = 5,097 m

Đáp số

Δz = 5,097 m

21.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: Q = 0,04508 m³/s

Phương trình Manning (SI): với dòng chảy đều trong kênh hở V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 và Q = A·V, với n là hệ số nhám, S là độ dốc đáy (m/m) và R = A/P là bán kính thủy lực: diện tích dòng chảy chia cho chu vi ướt. Chỉ phần biên tiếp xúc với nước được tính trong P, không tính mặt thoáng. Hình chữ nhật: A = b·y, P = b + 2y. Hình thang có mái dốc z:1 (ngang:đứng): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ống tròn chảy đầy hoặc đầy một nửa có R = D/4.

Hình học

A = 0,07952 m², R = D/4 = 0,1125 m

Vận tốc

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,001^1/2 = 0,5669 m/s

Lưu lượng

Q = A·V = 0,07952·0,5669 = 0,04508 m³/s

Đáp số

Q = 0,04508 m³/s

22.Dòng chảy hở (Manning)

Đáp số: S = 0,005519 m/m

Bán kính thủy lực

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Giải Manning tìm S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1575)² = 0,005519

Đáp số

S = 0,005519

Đó là độ hạ 5,519 m trên mỗi kilômét.

23.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 11,32 kW

Công suất bơm: công suất truyền cho nước là công suất thủy lực P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Trục phải cung cấp nhiều hơn vì bơm có tổn hao: P_shaft = P_h/η_pump, và động cơ tiêu thụ P_el = P_shaft/η_motor. Cột áp bơm H suy ra từ phương trình năng lượng: chiều cao nâng tĩnh + cột áp áp suất + mọi tổn thất ma sát và cục bộ.

Công suất thủy lực

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·50 = 7,357 kW

Công suất trên trục

P_shaft = P_h/η = 7,357/0,65 = 11,32 kW

Đáp số

P_shaft = 11,32 kW

24.Máy bơm và công suất bơm

Đáp số: P_shaft = 19,86 kW

Vận tốc

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Các tổn thất cột áp

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 4)·0,2905 = 12,06 m

Cột áp của bơm

H = Δz + h_L = 9 + 12,06 = 21,06 m

Công suất trên trục

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·21,06/0,78 = 19,86 kW

Đáp số

P_shaft = 19,86 kW

25.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: PV = 4490 €

Giá trị thời gian của tiền: tiền hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền đó ở tương lai, vì nó có thể sinh lãi. Với lãi suất i mỗi kỳ, một khoản tiền tăng theo FV = PV·(1 + i)ⁿ. Một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau (niên kim) được định giá bằng cách cộng từng khoản thanh toán, từ đó có các công thức niên kim.

Lãi suất và số kỳ

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·3 = 12

Giá trị hiện tại

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,114 = €4 490,31

Đáp số

PV = €4 490,31

26.Giá trị thời gian của tiền

Đáp số: I = 49655 €

Khoản thanh toán hằng tháng

i = 0,0025, N = 240

A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁴⁰) = €831,90

Tổng tiền lãi

I = N·A − P = 240·831,9 − 150 000 = €49 655,14

Đáp số

I = €49 655,14

27.NPV và IRR

Đáp số: NPV = 55556 €

Giá trị hiện tại ròng: chiết khấu mọi dòng tiền về hiện tại với tỷ suất sinh lời yêu cầu r, rồi cộng lại: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Dự án có NPV > 0 sinh lời nhiều hơn r và tạo thêm giá trị. Tỷ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là tỷ suất tại đó NPV = 0.

Giá trị của các dòng tiền

PV = 23 000/(0,1 − 0,01) = 255 555,56

NPV

NPV = 255 555,56 − 200 000 = €55 555,56

Đáp số

NPV = €55 555,56

NPV dương, nên dự án sinh lời nhiều hơn mức yêu cầu.

28.NPV và IRR

Đáp số: MIRR = 22,5 %

IRR điều chỉnh: ghép lãi mọi dòng tiền vào đến cuối dự án theo lãi suất tái đầu tư (thường là chi phí vốn) để được giá trị cuối kỳ TV. MIRR là tỉ suất biến khoản đầu tư ban đầu thành TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Giá trị cuối kỳ của các dòng tiền vào

19 000·1,08³ = 23 934,53

17 000·1,08² = 19 828,80

22 500·1,08¹ = 24 300,00

22 000·1,08⁰ = 22 000,00

TV = 90 063,33

MIRR

MIRR = (90 063,33/40 000)^1/4 − 1 = 22,5%

Đáp số

MIRR = 22,5%

29.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Chuẩn hóa

z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

30.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 247,4 g

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,3

z từ bảng

z ≈ −0,52

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Đáp số

x = 247,4 g

Đây là tài liệu luyện tập độc lập. ExamProblems không liên kết với hay được xác nhận bởi tổ chức tổ chức kỳ thi này, và tên kỳ thi chỉ được dùng để mô tả nội dung. Kỳ thi FE exam do NCEES tổ chức; tổ chức này không liên kết với ExamProblems và không bảo trợ nó.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil