Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
d1​ = 150 mmd2​ = 500 mm960 rpmT1​ = 1500 NT2​ = 750 NP = ?

Một dây đai chạy trên puli dẫn 150 mm ở 960 vòng/phút. Lực căng là 1500 N ở nhánh căng và 750 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.

d1 = 150 mmn1 = 960 rpmT1 = 1500 NT2 = 750 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
d1​ = 80 mmd2​ = 250 mm720 rpmC = 500 mmT1​ = 2000 NT2​P = ?

Một dây đai hở nối puli dẫn 80 mm ở 720 vòng/phút với puli 250 mm; tâm cách nhau 500 mm. Hệ số ma sát là 0,35 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 2000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d1 = 80 mmn1 = 720 rpmd2 = 250 mmC = 500 mmμ = 0,35T1 = 2000 N
P = kW
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 250 N·mL = 1 m

Một trục nhôm đặc dài 1 m chịu mô-men xoắn 250 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 250 N·mL = 1 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 80 mm, di​ = 64 mm

Một trục rỗng truyền 100 kW ở 3000 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 100 kWN = 3000 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 120τxy​ = −50MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 130σy​ = 100τxy​ = 10MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.

σx = 130 MPaσy = 100 MPaτxy = 10 MPa
σvM = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12600 mm500 mmØ20Ø50δ = 0,25 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
80 kN12600 mm300 mmØ20Ø60σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 60 mm, chiều dài 300 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 md = 30 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 100 kN/mζ = 0,4m = 40 kg

Một vật 40 kg trên lò xo có độ cứng 100 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 40 kgk = 100 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 50k2​ = 50k3​ = 5m = 10 kg

Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 5 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 50 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk1 = 50 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 5 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 5,655 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ dây đai

v = 7,54 m/s

Công suất

P = (1500 − 750)·7,54 = 5655 W = 5,655 kW

Đáp số

P = 5,655 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 3,768 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,8 rad

Lực căng nhánh chùng

eμθ = e0,98 = 2,664, T₂ = 2000/2,664 = 750,6 N

Công suất

P = (2000 − 750,6)·3,016 = 3,768 kW

Đáp số

P = 3,768 kW
3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 48,67 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·1000/(26000·0,01745) = 550921 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 48,67 mm

Đáp số

d = 48,67 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 5,363 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 318310·40/2,374 × 10⁶ = 5,363 MPa

Đáp số

τmax = 5,363 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 78,1 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 60 MPa, R = √(60² + (−50)²) = 78,1 MPa
σ1 = 138,1 MPa, σ2 = −18,1 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(156,2, 138,1, 18,1)/2 = 78,1 MPa

Đáp số

τabs = 78,1 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σvM = 119,2 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

σxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 115 MPa, R = 18,03 MPa
σ1 = 133 MPa, σ2 = 96,97 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(133² − 133·96,97 + 96,97²) = 119,2 MPa

Đáp số

σvM = 119,2 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 21,42 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/1,167 × 10⁻⁵ = 21420 N = 21,42 kN

Đáp số

P = 21,42 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 25,46 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 80000·942478/1,047 × 10⁶ = 72000 N

Ứng suất

σ2 = 72000/2827 = 25,46 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 25,46 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 3,052 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Đáp số

Pcr = 3,052 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 22,56 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/10 = 175

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Đáp số

σcr = 22,56 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 7,293 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(100000/40) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7,958 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,4²) = 7,293 Hz

Đáp số

fd = 7,293 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 3,473 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k12 = 50 + 50 = 100 kN/m
keq = 100·5/(100 + 5) = 4,762 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(4762/10) = 21,82 rad/s
fn = 21,82/(2π) = 3,473 Hz

Đáp số

fn = 3,473 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design