Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một trục vít 4 đầu mối quay ở 1450 rpm và dẫn động một bánh vít có 48 răng. Tìm tốc độ n_w của bánh vít.

z = 4N_w = 48n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 160 mm ở 1450 vòng/phút với puli 500 mm; tâm cách nhau 800 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 2000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 500 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 2000 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 40 mm và chiều dài 2,5 m; đoạn BC có đường kính 25 mm và chiều dài 1,2 m. Một mô-men xoắn 200 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 200 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 1800 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 300 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 105 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 40 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 65 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 65 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 100 kg trên lò xo có độ cứng 15 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 100 kgk = 15 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 20 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_w = 120,8 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 1450·4/48 = 120,8 rpm

Đáp số

n_w = 120,8 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 11,97 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,713 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,6783 = 1,971, T₂ = 2000/1,971 = 1015 N

Công suất

P = (2000 − 1015)·12,15 = 11,97 kW

Đáp số

P = 11,97 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 18,18 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·2500/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ_BC = 200000·1200/(26000·38350) = 0,2407 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,07652 + 0,2407 = 0,3172 rad = 18,18°

Đáp số

φ_C = 18,18°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 21,64 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21,64 mm

Đáp số

d = 21,64 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 11,18 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((40 − 30)/2)² + 10²) = 11,18 MPa

Đáp số

τ_max = 11,18 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,545

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 20 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 87,08 MPa, σ₂ = −47,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(87,08² − 87,08·(−47,08) + (−47,08)²) = 117,9 MPa

n = 300/117,9 = 2,545

Đáp số

n = 2,545

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 14,32 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,004775·3000 mm = 14,32 mm

Đáp số

δ = 14,32 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,687 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 56,59·1500/200000 = 0,4244 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198,9·1500/70000 = 4,263 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,687 mm

Đáp số

δ = 4,687 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 22,21 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4000² = 22207 N = 22,21 kN

Đáp số

P_cr = 22,21 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 47,61 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 47,61 mm

Đáp số

d = 47,61 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 147, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 1,826 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(15000/100) = 12,25 rad/s

f_n = 12,25/(2π) = 1,949 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,949·√(1 − 0,35²) = 1,826 Hz

Đáp số

f_d = 1,826 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 60 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 40 = 60 kN/m

Đáp số

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design