Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 1,5 kW chạy ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng, ăn khớp với một bánh răng có 48 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 1,5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 25N2 = 48η = 98%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 15 kW ở 1440 rpm dẫn động bánh răng A (32 răng), ăn khớp với bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (24 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (32 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 95%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 15 kWnin = 1440 rpmA = 32B = 50C = 24D = 32ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 500 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng truyền 100 kW ở 1500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.
P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 100 mmdi = 50 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = 0 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 355 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).
σx = 90 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.
đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 40 kNđoạn 1: Ø40 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 3 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 25 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 25 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 25 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,6. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 25 kgk = 150 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 40 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 15 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 100 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 40 kgk1 = 15 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 4,939 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m
Đáp số
T1 = 4,939 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 187 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 1440·(32/50)·(24/32) = 691,2 rpm
ωout = 2π·691,2/60 = 72,38 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 15000·0,95² = 13538 W
Tout = Pout/ωout = 13538/72,38 = 187 N·m
Đáp số
Tout = 187 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 3,507 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·251327) = 0,06121 rad
φ = 0,06121·180/π = 3,507°
Đáp số
φ = 3,507°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 3,458 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(100⁴ − 50⁴)/32 = 9,204 × 10⁶ mm⁴
Ứng suất tiếp lớn nhất
τmax = T·(do/2)/J = 636620·50/9,204 × 10⁶ = 3,458 MPa
Đáp số
τmax = 3,458 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = 29,87 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·60, 0 − −70) = 59,74°
Góc trên phần tử
θp = 29,87°
Đáp số
θp = 29,87°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: n = 3,18
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.
Ứng suất chính
C = 80 MPa, R = 31,62 MPa
σ1 = 111,6 MPa, σ2 = 48,38 MPa, σ3 = 0
Tresca
σmax − σmin = 111,6 MPa
n = 355/111,6 = 3,18
Đáp số
n = 3,18
n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: P = 30,09 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²
Các độ mềm
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N
Tải
P = 0,3/9,969 × 10⁻⁶ = 30093 N = 30,09 kN
Đáp số
P = 30,09 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 4,853 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 31,83 MPa
σ2 = 353,7 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 31,83·1000/100000 = 0,3183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 353,7·1500/117000 = 4,534 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,853 mm
Đáp số
δ = 4,853 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 29,24 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 2·3000 = 6000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/6000² = 29243 N = 29,24 kN
Đáp số
Pcr = 29,24 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 40,08 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 40,08 mm
Đáp số
d = 40,08 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 199,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 9,862 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(150000/25) = 77,46 rad/s
fn = 77,46/(2π) = 12,33 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 12,33·√(1 − 0,6²) = 9,862 Hz
Đáp số
fd = 9,862 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 13,04 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/15 + 1/100 → keq = 15·100/(15 + 100) = 13,04 kN/m
Đáp số
keq = 13,04 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design