Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 200 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 5 mm và tỉ số giảm tốc 3 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 200 mmm = 5 mmi = 3

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (18 răng) trên trục vào quay ở 1450 rpm và dẫn động bánh răng B (60 răng). Bánh răng C (12 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 130,5 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng N_D?

n_in = 1450 rpmA = 18B = 60C = 12n_out = 130,5 rpm

N_D =

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau truyền 20 kW ở 1500 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,5° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 275 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 100 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 120 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 30 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 30 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 14,1 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 14,1 mmn = 2

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 12 kN/m và k₂ = 5 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 60

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·200/5 = 80

Chia theo tỉ số

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

N₂ = 3·20 = 60

Đáp số

N₂ = 60

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N_D = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ của trục trung gian

n_B = n_C = 1450·18/60 = 435 rpm

Số răng của bánh răng D

N_D = C·n_C/n_out = 12·435/130,5 = 40

Đáp số

N_D = 40

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,217 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·79522) = 0,03869 rad

φ = 0,03869·180/π = 2,217°

Đáp số

φ = 2,217°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 44,18 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 44,18 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(25,31, 44,18) = 44,18 mm

Đáp số

d = 44,18 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 32,02 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((30 − −20)/2)² + 20²) = 32,02 MPa

Đáp số

τ_max = 32,02 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 3,287

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = −25 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 21,1 MPa, σ₂ = −71,1 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(21,1² − 21,1·(−71,1) + (−71,1)²) = 83,67 MPa

n = 275/83,67 = 3,287

Đáp số

n = 3,287

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 4,547 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 100·1000/314,2 = 318,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,004547·1000 mm = 4,547 mm

Đáp số

δ = 4,547 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,713 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 95,49·500/117000 = 0,4081 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1061·1000/200000 = 5,305 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,713 mm

Đáp số

δ = 5,713 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 78,75 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1050² = 78746 N = 78,75 kN

Đáp số

P_cr = 78,75 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 38,02 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 38,02 mm

Đáp số

d = 38,02 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 157,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1002

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/2)·ln(50/14,1) = 0,6329

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6329/√(39,48 + 0,4006) = 0,1002

Đáp số

ζ = 0,1002

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 17 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 5 = 17 kN/m

Đáp số

k_eq = 17 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design