Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 2,2 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 45 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 95%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.
P = 2,2 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 45η = 95%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (25 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (30 răng). Bánh răng C (16 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (18 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 3000 rpmA = 25B = 30C = 16D = 18
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 400 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc thép đường kính 25 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 750 N·m đặt tại C, cách A 0,8 m và cách B 1 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.
d = 25 mmT0 = 750 N·ma = 0,8 mb = 1 m
TA = N·m
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = −70 MPaσy = 110 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 45° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.
σx = −20 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.
P = 105 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 80 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 20 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 4 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 60 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 20 kgk = 4 kN/mc = 60 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 5 kg treo vào lò xo k₃ = 60 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 100 kN/m và k₂ = 12 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 5 kgk1 = 100 kN/mk2 = 12 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T1 = 21,88 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/100,5 = 21,88 N·m
Đáp số
T1 = 21,88 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 2222 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 3000·25/30 = 2500 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 2500·16/18 = 2222 rpm
Đáp số
nout = 2222 rpm
tỉ số truyền tổng = 1,35 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,724 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(26000·613592) = 0,03009 rad
φ = 0,03009·180/π = 1,724°
Đáp số
φ = 1,724°
4.Xoắn của trục
Đáp số: TA = 416,7 N·m
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).
Cân bằng và tương thích
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1/1,8 = 416,7 N·m
TB = 750·0,8/1,8 = 333,3 N·m
Đáp số
TA = 416,7 N·m
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = 56,98 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = −40/98,49 = −0,4061, sin 2θs = −(−90)/98,49 = 0,9138
2θs = atan2(90, −40) = 114°
Góc trên phần tử
θs = 56,98°
kiểm tra: θs − θp = 56,98 − (−78,02) = 135°
Đáp số
θs = 56,98°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σθ = −15 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
σθ = 15 + −35·0 + 30·−1 = −15 MPa
Đáp số
σθ = −15 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 13,06 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 522,2/100000 = 0,005222 = 5222 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,005222·2500 mm = 13,06 mm
Đáp số
δ = 13,06 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 29,96 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 80000·654498/890118 = 58824 N
Ứng suất
σ2 = 58824/1963 = 29,96 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 29,96 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 5,757 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2500² = 5757 N = 5,757 kN
Đáp số
Pcr = 5,757 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 100,7 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12,5 = 140
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa
Đáp số
σcr = 100,7 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,1061
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·20) = 565,7 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 60/565,7 = 0,1061
Đáp số
ζ = 0,1061
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 14,07 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 100 + 12 = 112 kN/m
keq = 112·60/(112 + 60) = 39,07 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(39070/5) = 88,4 rad/s
fn = 88,4/(2π) = 14,07 Hz
Đáp số
fn = 14,07 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design