Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 0,75 kW chạy ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng, ăn khớp với một bánh răng có 36 răng. Bỏ qua tổn thất. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 0,75 kWn1 = 2900 rpmN1 = 20N2 = 36η = 100%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 30 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 12 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 600 rpm. Tìm tốc độ nc của cần dẫn hành tinh.
Ns = 30Np = 12ns = 600 rpm
nc = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc thép truyền 15 kW ở 750 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,5° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.
P = 15 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = 10 MPaσy = 100 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một trục đặc đường kính 25 mm chịu một lực kéo dọc trục 110 kN cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất cắt lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
d = 25 mmF = 110 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 55 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 50 mm, chiều dài 400 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 30 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 5 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 5 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 2 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 12 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 80 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 2 kgk = 12 kN/mc = 80 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 10 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 50 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 4,445 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/303,7 = 2,47 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 2,47·36/20·1 = 4,445 N·m
Đáp số
T2 = 4,445 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nc = 214,3 rpm
Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.
Số răng của vành răng
Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·12 = 54
Phương trình Willis khi vành răng cố định
Đặt nr = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.
(600 − nc)/(0 − nc) = −54/30
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 600·30/84 = 214,3 rpm
Đáp số
nc = 214,3 rpm
Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 5,387 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·613592) = 0,09402 rad
φ = 0,09402·180/π = 5,387°
Đáp số
φ = 5,387°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 40,86 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m
Đường kính theo điều kiện bền
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm
Đường kính theo điều kiện cứng
θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·190986/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 40,86 mm
Đường kính quyết định
Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.
d = max(22,99, 40,86) = 40,86 mm
Đáp số
d = 40,86 mm
Ở đây điều kiện cứng quyết định.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = 78,02 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·20, 10 − 100) = 156°
Góc trên phần tử
θp = 78,02°
Đáp số
θp = 78,02°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 171,9 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các ứng suất tại bề mặt
σ = F/A = 110000/(π·25²/4) = 110000/490,9 = 224,1 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa
Vòng tròn Mohr
C = σ/2 = 112 MPa
R = √(112² + 130,4²) = 171,9 MPa
Đáp số
τmax = 171,9 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 1368 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 273,5/200000 = 0,001368 = 1368 µε
Đáp số
ε = 1368 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 7,826 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 30000·343612/670861 = 15366 N
Ứng suất
σ2 = 15366/1963 = 7,826 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 7,826 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 4,112 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·4000 = 4000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4000² = 4112 N = 4,112 kN
Đáp số
Pcr = 4,112 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 23,21 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 23,21 mm
Đáp số
d = 23,21 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 258,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,2582
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·2) = 309,8 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 80/309,8 = 0,2582
Đáp số
ζ = 0,2582
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 2,906 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/10 + 1/50 → keq = 10·50/(10 + 50) = 8,333 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(8333/25) = 18,26 rad/s
fn = 18,26/(2π) = 2,906 Hz
Đáp số
fn = 2,906 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design