Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 11 kW chạy ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 32 răng, ăn khớp với một bánh răng có 40 răng. Bỏ qua tổn thất. Tìm mômen xoắn T₁ trên trục động cơ.

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 200 mm ở 1440 vòng/phút với puli 400 mm; tâm cách nhau 1200 mm. Hệ số ma sát là 0,3 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1500 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 30 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1500 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 40 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 400 N·m tác dụng tại B, cách A 1,5 m, và một mô-men xoắn 250 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 0,5 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 460 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 60 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 125 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 125 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 40 kg trên lò xo có độ cứng 80 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 40 kgk = 80 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 50 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 5 kN/m và k₂ = 5 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₁ = 36,22 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m

Đáp số

T₁ = 36,22 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 13,35 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,975 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,8924 = 2,441, T₂ = 1500/2,441 = 614,5 N

Công suất

P = (1500 − 614,5)·15,08 = 13,35 kW

Đáp số

P = 13,35 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 6,035 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Góc xoắn

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·534071) = 0,1053 rad

φ = 0,1053·180/π = 6,035°

Đáp số

φ = 6,035°

4.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 0,5845 °

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 400 = −150 N·m

Góc xoắn của từng đoạn

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −150000·1500/(39000·251327) = −0,02296 rad

φ_BC = 250000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

Góc xoắn của đầu C

φ_C = −0,02296 + 0,01275 = −0,0102 rad → |φ_C| = 0,5845°

Đáp số

φ_C = 0,5845°

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 94,34 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((140 − −20)/2)² + −50²) = 94,34 MPa

Đáp số

τ_max = 94,34 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 4,6

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 35 MPa, R = 54,08 MPa

σ₁ = 89,08 MPa, σ₂ = −19,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(89,08² − 89,08·(−19,08) + (−19,08)²) = 100 MPa

n = 460/100 = 4,6

Đáp số

n = 4,6

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 7321 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1464/200000 = 0,007321 = 7321 µε

Đáp số

ε = 7321 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 506,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0006) = 0,0006 (đồng thau)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0006·8,443 × 10⁸ = 506582 N = 506,6 kN

Đáp số

P_max = 506,6 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 8,773 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/3000² = 8773 N = 8,773 kN

Đáp số

P_cr = 8,773 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 58,67 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 58,67 mm

Đáp số

d = 58,67 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 119,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 6,523 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(80000/40) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,4²) = 6,523 Hz

Đáp số

f_d = 6,523 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 4,594 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 5 + 5 = 10 kN/m

k_eq = 10·50/(10 + 50) = 8,333 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(8333/10) = 28,87 rad/s

f_n = 28,87/(2π) = 4,594 Hz

Đáp số

f_n = 4,594 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design