Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
d1​ = 200 mmd2​ = 500 mm1450 rpmn2​ = ?

Một puli 200 mm ở 1450 vòng/phút dẫn động một puli 500 mm bằng dây đai với độ trượt 3 %. Tìm tốc độ n2 của puli bị dẫn.

n1 = 1450 rpmd1 = 200 mmd2 = 500 mms = 3 %
n2 = rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
d1​ = 125 mmd2​ = 300 mm720 rpmC = 800 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

Một dây đai hở nối puli dẫn 125 mm ở 720 vòng/phút với puli 300 mm; tâm cách nhau 800 mm. Hệ số ma sát là 0,3 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d1 = 125 mmn1 = 720 rpmd2 = 300 mmC = 800 mmμ = 0,3T1 = 1000 N
P = kW
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 25 mmT0​ = 400 N·mACBa = 2,5 mb = 0,8 m

Một trục đặc đồng thau đường kính 25 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 400 N·m đặt tại C, cách A 2,5 m và cách B 0,8 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.

d = 25 mmT0 = 400 N·ma = 2,5 mb = 0,8 m
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 80σy​ = 70τxy​ = 10MPa

Một điểm có σₓ = 80 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 80 MPaσy = 70 MPaτxy = 10 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 110σy​ = 60τxy​ = −10MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 60 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 300 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).

σx = 110 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaσY = 300 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12400 mm300 mmØ40Ø30δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng thau1 mØ 12 mmNhôm1,5 mP = 45 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.

P = 45 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 6 m50 × 60 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 3 md = 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
tx20 mm3 chu kỳ13,7 mm

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 20 mm được theo sau 3 chu kỳ sau bởi đỉnh 13,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x0 = 20 mmx3 = 13,7 mmn = 3
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 60k2​ = 80m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 60 kN/m và k₂ = 80 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n2 = 562,6 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1450·200/500 = 580 rpm

Khi có trượt

n2 = 580·0,97 = 562,6 rpm

Đáp số

n2 = 562,6 rpm
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 2,751 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,922 rad

Lực căng nhánh chùng

eμθ = e0,8767 = 2,403, T₂ = 1000/2,403 = 416,1 N

Công suất

P = (1000 − 416,1)·4,712 = 2,751 kW

Đáp số

P = 2,751 kW
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 13,86 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·79522) = 0,2418 rad
φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Đáp số

φ = 13,86°
4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 98,77 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·0,8/3,3 = 96,97 N·m
TB = 400·2,5/3,3 = 303 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).

τmax = 16·303030/(π·25³) = 98,77 MPa

Đáp số

τmax = 98,77 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θs = −13,28 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

σxyCτmax​

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θs = 10/11,18 = 0,8944, sin 2θs = −5/11,18 = −0,4472
2θs = atan2(−5, 10) = −26,57°

Góc trên phần tử

θs = −13,28°
kiểm tra: θs − θp = −13,28 − 31,72 = −45°

Đáp số

θs = −13,28°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,68

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

σxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 85 MPa, R = 26,93 MPa
σ1 = 111,9 MPa, σ2 = 58,07 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 111,9 MPa
n = 300/111,9 = 2,68

Đáp số

n = 2,68

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 85,68 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/5,836 × 10⁻⁶ = 85680 N = 85,68 kN

Đáp số

P = 85,68 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σmax = 397,9 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 63,66 MPa
σ2 = 397,9 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σmax = 397,9 MPa

Đáp số

σmax = 397,9 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 11,99 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·6000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11,99 kN

Đáp số

Pcr = 11,99 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 179 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/20 = 105

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Đáp số

σcr = 179 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,02007

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/3)·ln(20/13,7) = 0,1261

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1261/√(39,48 + 0,0159) = 0,02007

Đáp số

ζ = 0,02007
12.Dao động cơ học

Đáp số: keq = 140 kN/m

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 60 + 80 = 140 kN/m

Đáp số

keq = 140 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design