Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 1,1 kW ở 2900 rpm dẫn động một trục vít 3 đầu mối. Bánh vít có 30 răng và bộ truyền có hiệu suất 65%. Tìm mô-men đầu ra T_w trên trục bánh vít.

z = 3N_w = 30n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 65%

T_w = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 15 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 24 răng. Vành răng ngoài được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 600 rpm. Tìm tốc độ n_c của cần dẫn hành tinh.

N_s = 15N_p = 24n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 300 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 15° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 120 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1500 mm và chiều dày thành 15 mm chứa khí ở áp suất dư 1 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 20° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 25 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 15,1 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 25 mmx₁ = 15,1 mmn = 1

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 50 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 40 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_w = 23,54 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 2900·3/30 = 290 rpm

Mômen xoắn ra

ω_w = 2π·290/60 = 30,37 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,65·1100/30,37 = 23,54 N·m

Đáp số

T_w = 23,54 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_c = 115,4 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·24 = 63

Phương trình Willis khi vành răng cố định

Đặt n_r = 0 và giải tìm tốc độ cần dẫn.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −63/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·15/78 = 115,4 rpm

Đáp số

n_c = 115,4 rpm

Cần dẫn quay cùng chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,237 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·79522) = 0,1612 rad

φ = 0,1612·180/π = 9,237°

Đáp số

φ = 9,237°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 128 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·25/466269 = 128 MPa

Đáp số

τ_max = 128 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 31,7 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 70 − 50·0,866 − (−10)·0,5 = 31,7 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 108,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 31,7 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 47,08 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1·750/15 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 25·sin²20° + 50·cos²20° = 47,08 MPa

Đáp số

σ_n = 47,08 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 1273 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314,2 = 254,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Đáp số

ε = 1273 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 349,1 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,0007) = 0,0007 (đồng thau)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0007·4,987 × 10⁸ = 349109 N = 349,1 kN

Đáp số

P_max = 349,1 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 8,721 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Đáp số

P_cr = 8,721 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 26,99 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Đáp số

σ_cr = 26,99 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,07999

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(25/15,1) = 0,5042

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5042/√(39,48 + 0,2542) = 0,07999

Đáp số

ζ = 0,07999

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 22,22 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/40 → k_eq = 50·40/(50 + 40) = 22,22 kN/m

Đáp số

k_eq = 22,22 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design