Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một dây đai chạy trên puli dẫn 100 mm ở 1500 vòng/phút. Lực căng là 800 N ở nhánh căng và 320 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.
d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmT1 = 800 NT2 = 320 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một dây đai hở nối puli dẫn 100 mm ở 1500 vòng/phút với puli 300 mm; tâm cách nhau 1200 mm. Hệ số ma sát là 0,35 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1500 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).
d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmd2 = 300 mmC = 1200 mmμ = 0,35T1 = 1500 N
P = kW
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 200 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng truyền 5 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 50 mmdi = 35 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 20° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.
σx = 50 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).
σx = 150 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPaσY = 350 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 65 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.
thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 200 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 100 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 5370 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 200 kgk = 100 kN/mc = 5370 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 50 kg treo vào lò xo k₃ = 10 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 12 kN/m và k₂ = 80 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 3,77 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ dây đai
v = 7,854 m/s
Công suất
P = (800 − 320)·7,854 = 3770 W = 3,77 kW
Đáp số
P = 3,77 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 7,622 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Góc ôm
θ = 2,975 rad
Lực căng nhánh chùng
eμθ = e1,041 = 2,832, T₂ = 1500/2,832 = 529,6 N
Công suất
P = (1500 − 529,6)·7,854 = 7,622 kW
Đáp số
P = 7,622 kW
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 5,542 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·79522) = 0,09673 rad
φ = 0,09673·180/π = 5,542°
Đáp số
φ = 5,542°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 5,12 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
Ứng suất tiếp lớn nhất
τmax = T·(do/2)/J = 95493·25/466269 = 5,12 MPa
Đáp số
τmax = 5,12 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σy′ = 60,45 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi cho mặt y′
σy′ = 45 − 5·0,766 − 30·(−0,6428) = 60,45 MPa
Kiểm tra
Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.
σx′ = 29,55 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy
Đáp số
σy′ = 60,45 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: n = 1,499
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.
Ứng suất chính
C = 35 MPa, R = 116,7 MPa
σ1 = 151,7 MPa, σ2 = −81,73 MPa, σ3 = 0
Tresca
σmax − σmin = 233,5 MPa
n = 350/233,5 = 1,499
Đáp số
n = 1,499
n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 4912 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 574,7/117000 = 0,004912 = 4912 µε
Đáp số
ε = 4912 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: Pmax = 443,2 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
Độ cứng dọc trục kết hợp
ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·7461 = 6,205 × 10⁸ N
Biến dạng quyết định
ε = min(0,0008, 0,0007143) = 0,0007143 (nhôm)
Tải lớn nhất
Pmax = 0,0007143·6,205 × 10⁸ = 443189 N = 443,2 kN
Đáp số
Pmax = 443,2 kN
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 441 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN
Đáp số
Pcr = 441 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 17,27 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa
Đáp số
σcr = 17,27 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,6004
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·200) = 8944 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 5370/8944 = 0,6004
Đáp số
ζ = 0,6004
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 2,138 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 12 + 80 = 92 kN/m
keq = 92·10/(92 + 10) = 9,02 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(9020/50) = 13,43 rad/s
fn = 13,43/(2π) = 2,138 Hz
Đáp số
fn = 2,138 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design