Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 150 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 5 mm và tỉ số giảm tốc 2 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 150 mmm = 5 mmi = 2

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 120 mm và puli 500 mm có tâm cách nhau 1200 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 120 mmd₂ = 500 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 40 mm và chiều dài 2,5 m; đoạn BC có đường kính 30 mm và chiều dài 1,5 m. Một mô-men xoắn 250 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 75 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −30 MPa và σᵧ = −10 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 50 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1500 mm và chiều dày thành 15 mm chứa khí ở áp suất dư 2 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 25° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 400 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 95 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 80 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 50 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 1600 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 80 kgk = 50 kN/mc = 1600 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 20 kN/m và k₂ = 20 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 40

Hình học bánh răng: mô-đun m quyết định kích thước răng. Bánh răng có N răng có đường kính vòng chia d = m·N, hai bánh răng ăn khớp có cùng mô-đun, và khoảng cách trục của chúng là a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Vận tốc trên vòng chia là v = π·d·n/60, và lực vòng trên răng suy ra từ mô-men: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/5 = 60

Chia theo tỉ số

N₁ = 60/(1 + 2) = 20

N₂ = 2·20 = 40

Đáp số

N₂ = 40

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 161,8 °

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc của dây đai

asin(0,1583) = 9,11°

Góc ôm

θ = 180 − 2·9,11 = 161,8°

Đáp số

θ = 161,8°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 10,58 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 250000·2500/(39000·251327) = 0,06376 rad

φ_BC = 250000·1500/(39000·79522) = 0,1209 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,06376 + 0,1209 = 0,1847 rad = 10,58°

Đáp số

φ_C = 10,58°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 53,37 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·80)) = 53,37 mm

Đáp số

d = 53,37 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 69,28 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (−30 + (−10))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 50 − (−20) = 70 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 10²) = 69,28 MPa

Đáp số

τ_xy = 69,28 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 91,07 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2·750/15 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 50·sin²25° + 100·cos²25° = 91,07 MPa

Đáp số

σ_n = 91,07 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 37,53 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4,547 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,4/1,066 × 10⁻⁵ = 37528 N = 37,53 kN

Đáp số

P = 37,53 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 472,5 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 472,5 MPa

Đáp số

σ_max = 472,5 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 2,412 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·3000 = 6000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Đáp số

P_cr = 2,412 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 39,34 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12,5 = 224

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Đáp số

σ_cr = 39,34 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,4

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·80) = 4000 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 1600/4000 = 0,4

Đáp số

ζ = 0,4

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 6,366 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 20 = 40 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Đáp số

f_n = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design