Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 25N2​ = 32

Một động cơ 0,75 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng, ăn khớp với một bánh răng có 32 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 0,75 kWn1 = 960 rpmN1 = 25N2 = 32η = 97%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 30B = 36C = 32D = 50

Một động cơ 5,5 kW ở 1440 rpm dẫn động bánh răng A (30 răng), ăn khớp với bánh răng B (36 răng). Bánh răng C (32 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (50 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 98%. Tìm mô-men đầu ra Tout.

P = 5,5 kWnin = 1440 rpmA = 30B = 36C = 32D = 50ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 250 N·md = 25 mmL = 3 mφ = ?

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?30 kW, 1500 rpm

Một trục đặc nhôm truyền 30 kW ở 1500 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,75° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 30 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −50σy​ = 100τxy​ = −20MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −50 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = −50 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
30°D = 600 mm, t = 12 mm, p = 3 MPap

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 600 mm và chiều dày thành 12 mm chứa khí ở áp suất dư 3 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 30° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τn| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 600 mmt = 12 mmp = 3 MPaα = 30°
|τn| = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmThép0,5 mP = 35 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 35 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø40100 GPaØ120/50600 mm

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 120 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 60 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 m50 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 150 kN/mc = 6570 N·s/mm = 200 kg

Một vật 200 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 150 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 6570 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 200 kgk = 150 kN/mc = 6570 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 5k2​ = 25k3​ = 50m = 100 kg

Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 50 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 5 kN/m và k₂ = 25 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 7,46 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Đáp số

T1 = 7,46 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Tout = 65,68 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

nout = 1440·(30/36)·(32/50) = 768 rpm
ωout = 2π·768/60 = 80,42 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

Pout = 5500·0,98² = 5282 W
Tout = Pout/ωout = 5282/80,42 = 65,68 N·m

Đáp số

Tout = 65,68 N·m
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 14,01 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·38350) = 0,2445 rad
φ = 0,2445·180/π = 14,01°

Đáp số

φ = 14,01°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 48,9 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·190986/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 48,9 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(28,97, 48,9) = 48,9 mm

Đáp số

d = 48,9 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = −82,53 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−20, −50 − 100) = −165,1°

Góc trên phần tử

θp = −82,53°

Đáp số

θp = −82,53°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τn| = 16,24 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.

Các ứng suất trong thành

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 3·300/12 = 75 MPa
σa = pr/(2t) = 37,5 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τn| = (75 − 37,5)·sin 30°·cos 30° = 16,24 MPa

Đáp số

|τn| = 16,24 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,114 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78,54 = 445,6 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 445,6/200000 = 0,002228 = 2228 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,002228·500 mm = 1,114 mm

Đáp số

δ = 1,114 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 711,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (đồng thau)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0006·1,186 × 10⁹ = 711571 N = 711,6 kN

Đáp số

Pmax = 711,6 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 367,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1400² = 367173 N = 367,2 kN

Đáp số

Pcr = 367,2 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 12,34 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Đáp số

σcr = 12,34 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,5998

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·200) = 10954 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 6570/10954 = 0,5998

Đáp số

ζ = 0,5998

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 2,179 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k12 = 5 + 25 = 30 kN/m
keq = 30·50/(30 + 50) = 18,75 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(18750/100) = 13,69 rad/s
fn = 13,69/(2π) = 2,179 Hz

Đáp số

fn = 2,179 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design