Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 80 mm ở 1500 vòng/phút dẫn động một puli 315 mm bằng dây đai với độ trượt 2,5 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (25 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (30 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1440 rpmA = 25B = 50C = 30D = 40

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng đồng thau (đường kính ngoài 30 mm, đường kính trong 21 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 100 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 21 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 100 kW ở 1450 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_p từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = 20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 300 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 50 mm, chiều dài 400 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 60 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 40 kg trên lò xo có độ cứng 10 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 40 kgk = 10 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 50 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 5 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 60 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 371,4 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1500·80/315 = 381 rpm

Khi có trượt

n₂ = 381·0,975 = 371,4 rpm

Đáp số

n₂ = 371,4 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 540 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1440·25/50 = 720 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 720·30/40 = 540 rpm

Đáp số

n_out = 540 rpm

tỉ số truyền tổng = 2,667 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 7,294 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

Góc xoắn

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·3000/(39000·60428) = 0,1273 rad

φ = 0,1273·180/π = 7,294°

Đáp số

φ = 7,294°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 11,54 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·37,5/2,141 × 10⁶ = 11,54 MPa

Đáp số

τ_max = 11,54 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_p = 63,43 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −30 − 30) = 126,9°

Góc trên phần tử

θ_p = 63,43°

Đáp số

θ_p = 63,43°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 150,8 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 125 + 35·0,1736 + 20·0,9848 = 150,8 MPa

Đáp số

σ_θ = 150,8 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,3526 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5890 = 5,105 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 300000·600/5,105 × 10⁸ = 0,3526 mm

Đáp số

δ = 0,3526 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 22,41 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 60000·539961/736311 = 44000 N

Ứng suất

σ₂ = 44000/1963 = 22,41 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 22,41 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 32,78 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2800² = 32783 N = 32,78 kN

Đáp số

P_cr = 32,78 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 9,064 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/466,7² = 9,064 MPa

Đáp số

σ_cr = 9,064 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 1,797 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(10000/40) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,7²) = 1,797 Hz

Đáp số

f_d = 1,797 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 4,615 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/60 → k_eq = 5·60/(5 + 60) = 4,615 kN/m

Đáp số

k_eq = 4,615 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design