Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 3 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 30 răng, ăn khớp với một bánh răng có 32 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn ra T₂ trên trục bánh răng.

P = 3 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 32η = 98%

T₂ = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 160 mm và puli 250 mm có tâm cách nhau 800 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 160 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 30 mm, chiều dài 1,2 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 750 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 100 kW ở 1500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 20 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 10 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 2,2 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 2,2 mmn = 2

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 100 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₂ = 20,8 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Mômen xoắn ra

T₂ = 19,89·32/30·0,98 = 20,8 N·m

Đáp số

T₂ = 20,8 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 173,6 °

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc của dây đai

asin(0,05625) = 3,225°

Góc ôm

θ = 180 − 2·3,225 = 173,6°

Đáp số

θ = 173,6°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,714 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Góc xoắn

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1200/(26000·534071) = 0,06481 rad

φ = 0,06481·180/π = 3,714°

Đáp số

φ = 3,714°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 27,67 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·25/575243 = 27,67 MPa

Đáp số

τ_max = 27,67 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 31,62 MPa

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((10 − 30)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Đáp số

τ_max = 31,62 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 74,16 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 5 MPa, R = 42,72 MPa

σ₁ = 47,72 MPa, σ₂ = −37,72 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(47,72² − 47,72·(−37,72) + (−37,72)²) = 74,16 MPa

Đáp số

σ_vM = 74,16 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 6947 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/113,1 = 486,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 486,3/70000 = 0,006947 = 6947 µε

Đáp số

ε = 6947 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,14 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·1500/70000 = 0,8731 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176,8·1500/117000 = 2,267 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,14 mm

Đáp số

δ = 3,14 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 5,287 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4200² = 5287 N = 5,287 kN

Đáp số

P_cr = 5,287 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 47,98 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Đáp số

σ_cr = 47,98 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1196

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/2)·ln(10/2,2) = 0,7571

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7571/√(39,48 + 0,5731) = 0,1196

Đáp số

ζ = 0,1196

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 140 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 40 = 140 kN/m

Đáp số

k_eq = 140 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design