Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 12N2​ = 32

Một động cơ 1,5 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 12 răng, ăn khớp với một bánh răng có 32 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 1,5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 12N2 = 32η = 98%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 32B = 80C = 12D = 18

Một động cơ 4 kW ở 2900 rpm dẫn động bánh răng A (32 răng), ăn khớp với bánh răng B (80 răng). Bánh răng C (12 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (18 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 95%. Tìm mô-men đầu ra Tout.

P = 4 kWnin = 2900 rpmA = 32B = 80C = 12D = 18ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 10 kW ở 1500 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 130σy​ = −60τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.

σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 20σy​ = 100τxy​ = −30MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 420 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σx = 20 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaσY = 420 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12300 mm300 mmØ25Ø50δ = 0,4 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 50 mm, chiều dài 300 mm, E = 100 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø25100 GPaØ120/70300 mm

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 150 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 60 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 m20 × 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 30 kNL = 2,5 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 30 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 30 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 10 kN/mc = 1070 N·s/mm = 80 kg

Một vật 80 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 10 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 1070 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 80 kgk = 10 kN/mc = 1070 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 60k2​ = 12m = 20 kg

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 60 kN/m và k₂ = 12 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 9,947 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Đáp số

T1 = 9,947 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Tout = 44,58 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

nout = 2900·(32/80)·(12/18) = 773,3 rpm
ωout = 2π·773,3/60 = 80,98 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

Pout = 4000·0,95² = 3610 W
Tout = Pout/ωout = 3610/80,98 = 44,58 N·m

Đáp số

Tout = 44,58 N·m
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,194 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·38350) = 0,1605 rad
φ = 0,1605·180/π = 9,194°

Đáp số

φ = 9,194°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 15,94 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Đáp số

d = 15,94 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τmax = 95,52 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCτmax​

Bán kính vòng tròn Mohr

τmax = R = √(((130 − −60)/2)² + 10²) = 95,52 MPa

Đáp số

τmax = 95,52 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 3,986

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Ứng suất chính

C = 60 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 110 MPa, σ2 = 10 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(110² − 110·10 + 10²) = 105,4 MPa
n = 420/105,4 = 3,986

Đáp số

n = 3,986

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 87,27 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1,528 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,4/4,584 × 10⁻⁶ = 87266 N = 87,27 kN

Đáp số

P = 87,27 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 506,6 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00075, 0,0006) = 0,0006 (đồng thau)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0006·8,443 × 10⁸ = 506582 N = 506,6 kN

Đáp số

Pmax = 506,6 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 33,57 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1400² = 33570 N = 33,57 kN

Đáp số

Pcr = 33,57 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 48,25 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 48,25 mm

Đáp số

d = 48,25 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 145,1, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,5981

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·80) = 1789 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/cc = 1070/1789 = 0,5981

Đáp số

ζ = 0,5981

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 9,549 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 60 + 12 = 72 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(72000/20) = 60 rad/s
fn = 60/(2π) = 9,549 Hz

Đáp số

fn = 9,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design