Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 15 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 12 răng, ăn khớp với một bánh răng có 20 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 15 kWn1 = 960 rpmN1 = 12N2 = 20η = 96%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một động cơ 4 kW ở 1440 rpm dẫn động bánh răng A (18 răng), ăn khớp với bánh răng B (36 răng). Bánh răng C (32 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 95%. Tìm mô-men đầu ra Tout.
P = 4 kWnin = 1440 rpmA = 18B = 36C = 32D = 45ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Xoắn của trụcTrung bình
Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 10 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 30 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 300 mm quay 6,57° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.
T = 30 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 6,57°
G = GPa
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc nhôm đường kính 20 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 400 N·m đặt tại C, cách A 0,5 m và cách B 1,2 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τmax trong trục.
d = 20 mmT0 = 400 N·ma = 0,5 mb = 1,2 m
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = 120 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 350 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn Tresca (ứng suất cắt lớn nhất).
σx = 160 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPaσY = 350 MPa
n =
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 65 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 65 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 50 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 50 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 20 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 4 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 140 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 20 kgk = 4 kN/mc = 140 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 50 kg treo vào lò xo k₃ = 5 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 20 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 5 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 238,7 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 149,2·20/12·0,96 = 238,7 N·m
Đáp số
T2 = 238,7 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Tout = 67,33 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Tốc độ ra
nout = 1440·(18/36)·(32/45) = 512 rpm
ωout = 2π·512/60 = 53,62 rad/s
Công suất và mô-men đầu ra
Pout = 4000·0,95² = 3610 W
Tout = Pout/ωout = 3610/53,62 = 67,33 N·m
Đáp số
Tout = 67,33 N·m
3.Xoắn của trục
Đáp số: G = 79,95 GPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mô-men quán tính độc cực và góc
J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 6,57·π/180 = 0,1147 rad
Mô đun trượt
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(981,7·0,1147) = 79947 MPa
G = 79,95 GPa
Đáp số
G = 79,95 GPa
So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 179,8 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).
Cân bằng và tương thích
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1,2/1,7 = 282,4 N·m
TB = 400·0,5/1,7 = 117,6 N·m
Ứng suất tiếp lớn nhất
Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).
τmax = 16·282353/(π·20³) = 179,8 MPa
Đáp số
τmax = 179,8 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 80,78 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((120 − −30)/2)² + 30²) = 80,78 MPa
Đáp số
τmax = 80,78 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: n = 1,501
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.
Ứng suất chính
C = 60 MPa, R = 116,6 MPa
σ1 = 176,6 MPa, σ2 = −56,62 MPa, σ3 = 0
Tresca
σmax − σmin = 233,2 MPa
n = 350/233,2 = 1,501
Đáp số
n = 1,501
n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 4138 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 827,6/200000 = 0,004138 = 4138 µε
Đáp số
ε = 4138 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 206,9 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 91,96 MPa
σ2 = 206,9 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 206,9 MPa
Đáp số
σmax = 206,9 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 32,13 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2000² = 32128 N = 32,13 kN
Đáp số
Pcr = 32,13 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 72,51 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm
Đáp số
d = 72,51 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 137,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,2475
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·20) = 565,7 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 140/565,7 = 0,2475
Đáp số
ζ = 0,2475
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 1,538 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 20 + 50 = 70 kN/m
keq = 70·5/(70 + 5) = 4,667 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(4667/50) = 9,661 rad/s
fn = 9,661/(2π) = 1,538 Hz
Đáp số
fn = 1,538 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design