Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 1,1 kW quay ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 18 răng và mô-đun 5 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.
P = 1,1 kWn = 960 rpmN1 = 18m = 5 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (32 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (18 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 2900 rpmA = 32B = 50C = 18D = 72
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 2 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 500 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc đồng thau đường kính 60 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 500 N·m tác dụng tại B, cách A 1 m, và một mô-men xoắn 400 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,5 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 60 mmTB = 500 N·mTC = 400 N·mAB = 1 mBC = 1,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 30 MPa, σᵧ = −80 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = 30 MPaσy = −80 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −30 MPa, σᵧ = 120 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = −30 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 70 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.
P = 75 kNđoạn 1: Ø25 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 15 kg trên lò xo có độ cứng 50 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,3. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 15 kgk = 50 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 5 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 30 kN/m và k₂ = 100 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 5 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: Ft = 243,2 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Mô-men trên bánh răng nhỏ
ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T = P/ω = 1100/100,5 = 10,94 N·m
Đường kính vòng chia
d = m·N = 5·18 = 90 mm
Lực vòng
Ft = 2T/d = 2·10,94/0,09 = 243,2 N
Đáp số
Ft = 243,2 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 464 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 2900·32/50 = 1856 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 1856·18/72 = 464 rpm
Đáp số
nout = 464 rpm
tỉ số truyền tổng = 6,25 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 1,752 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
Góc xoắn
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·2000/(80000·408885) = 0,03057 rad
φ = 0,03057·180/π = 1,752°
Đáp số
φ = 1,752°
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 0,5773 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 500 = −100 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −100000·1000/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,002015 rad
φBC = 400000·1500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01209 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = −0,002015 + 0,01209 = 0,01008 rad → |φC| = 0,5773°
Đáp số
φC = 0,5773°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 62,65 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((30 − −80)/2)² + −30²) = 62,65 MPa
Đáp số
τmax = 62,65 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τθ = 31,74 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi
τθ = −−75·0,766 + −40·0,6428 = 31,74 MPa
Đáp số
τθ = 31,74 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 2976 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 348,2/117000 = 0,002976 = 2976 µε
Đáp số
ε = 2976 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 5,036 mm
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 152,8 MPa
σ2 = 373 MPa
Cộng độ giãn dài của các đoạn
δ1 = σ1L1/E1 = 152,8·1000/117000 = 1,306 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 373·1000/100000 = 3,73 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,036 mm
Đáp số
δ = 5,036 mm
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 322,3 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1400² = 322273 N = 322,3 kN
Đáp số
Pcr = 322,3 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 11,99 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/6,25 = 240
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa
Đáp số
σcr = 11,99 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 8,766 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(50000/15) = 57,74 rad/s
fn = 57,74/(2π) = 9,189 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 9,189·√(1 − 0,3²) = 8,766 Hz
Đáp số
fd = 8,766 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 130 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 30 + 100 = 130 kN/m
Đáp số
keq = 130 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design