Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 3 kW quay ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng và mô-đun 4 mm. Tìm lực vòng F_t trên các răng của bánh răng nhỏ.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 25m = 4 mm

F_t = N

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 30 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 24 răng. Cần dẫn hành tinh được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 1500 rpm. Tìm tốc độ n_r của vành răng ngoài (độ lớn).

N_s = 30N_p = 24n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 50 mm và chiều dài 1,5 m; đoạn BC có đường kính 40 mm và chiều dài 1,2 m. Một mô-men xoắn 250 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép đường kính 50 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 1000 N·m đặt tại C, cách A 1,5 m và cách B 1 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 50 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,5 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 40 mm chịu một lực nén dọc trục 20 kN cùng với mô-men xoắn 1500 N·m. Tại bề mặt của trục, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ₁.

d = 40 mmF = −20 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,3 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 60 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 30 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 8 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 4 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 30 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 8 kgk = 4 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 10 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: F_t = 397,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Mô-men trên bánh răng nhỏ

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Đường kính vòng chia

d = m·N = 4·25 = 100 mm

Lực vòng

F_t = 2T/d = 2·19,89/0,1 = 397,9 N

Đáp số

F_t = 397,9 N

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_r = 576,9 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·24 = 78

Phương trình Willis khi cần dẫn cố định

Với n_c = 0, bánh mặt trời dẫn động vành răng qua các bánh hành tinh, đóng vai trò bánh trung gian.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·30/78 = −576,9 rpm

|n_r| = 576,9 rpm

Đáp số

n_r = 576,9 rpm

Vành răng quay ngược chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 3,977 °

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·251327) = 0,04591 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,02351 + 0,04591 = 0,06942 rad = 3,977°

Đáp số

φ_C = 3,977°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 24,45 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1/2,5 = 400 N·m

T_B = 1000·1,5/2,5 = 600 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).

τ_max = 16·600000/(π·50³) = 24,45 MPa

Đáp số

τ_max = 24,45 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = 22,5 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = 40/56,57 = 0,7071, sin 2θ_s = −(−40)/56,57 = 0,7071

2θ_s = atan2(40, 40) = 45°

Góc trên phần tử

θ_s = 22,5°

kiểm tra: θ_s − θ_p = 22,5 − 67,5 = −45°

Đáp số

θ_s = 22,5°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ₁ = 111,7 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = F/A = −20000/(π·40²/4) = −20000/1257 = −15,92 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = −7,958 MPa

R = √((−7,958)² + 119,4²) = 119,6 MPa

σ₁ = C + R = 111,7 MPa

σ₂ = C − R = −127,6 MPa

Đáp số

σ₁ = 111,7 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 51,74 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3,41 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,3/5,798 × 10⁻⁶ = 51744 N = 51,74 kN

Đáp số

P = 51,74 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 9,192 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 30000·678584/783304 = 25989 N

Ứng suất

σ₂ = 25989/2827 = 9,192 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 9,192 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 17,3 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Đáp số

P_cr = 17,3 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 4,318 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Đáp số

σ_cr = 4,318 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,08385

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·8) = 357,8 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 30/357,8 = 0,08385

Đáp số

ζ = 0,08385

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 6,667 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/20 → k_eq = 10·20/(10 + 20) = 6,667 kN/m

Đáp số

k_eq = 6,667 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design