Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một dây đai chạy trên puli dẫn 120 mm ở 1450 vòng/phút. Lực căng là 600 N ở nhánh căng và 240 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 600 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (18 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (45 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (40 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 3000 rpmA = 18B = 45C = 12D = 40

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 250 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,75 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 1800 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 75 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm góc θ_s, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 420 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 10 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 70 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaống: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 65 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 65 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 50 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 10 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 210 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 50 kgk = 10 kN/mc = 210 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 5 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 30 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 10 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 3,28 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ dây đai

v = 9,111 m/s

Công suất

P = (600 − 240)·9,111 = 3280 W = 3,28 kW

Đáp số

P = 3,28 kW

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 360 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 3000·18/45 = 1200 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1200·12/40 = 360 rpm

Đáp số

n_out = 360 rpm

tỉ số truyền tổng = 8,333 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 28,55 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·80·0,6836)) = 28,55 mm

d_i = 0,75·28,55 = 21,42 mm

Đáp số

d_o = 28,55 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 25,15 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 27,46 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 397887·25/362265 = 27,46 MPa

Đáp số

τ_max = 27,46 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θ_s = −72,5 °

Góc trên vòng tròn

Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.

cos 2θ_s = −50/61,03 = −0,8192, sin 2θ_s = −35/61,03 = −0,5735

2θ_s = atan2(−35, −50) = −145°

Góc trên phần tử

θ_s = −72,5°

kiểm tra: θ_s − θ_p = −72,5 − (−27,5) = −45°

Đáp số

θ_s = −72,5°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 2,625

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 130 MPa, R = 53,85 MPa

σ₁ = 183,9 MPa, σ₂ = 76,15 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(183,9² − 183,9·76,15 + 76,15²) = 160 MPa

n = 420/160 = 2,625

Đáp số

n = 2,625

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,273 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0006366·2000 mm = 1,273 mm

Đáp số

δ = 1,273 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 422,2 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (đồng thau)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0005·8,443 × 10⁸ = 422152 N = 422,2 kN

Đáp số

P_max = 422,2 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 62,01 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Đáp số

P_cr = 62,01 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 68,07 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 68,07 mm

Đáp số

d = 68,07 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 235,1, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,1485

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·50) = 1414 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 210/1414 = 0,1485

Đáp số

ζ = 0,1485

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 6,164 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/10 → k_eq = 30·10/(30 + 10) = 7,5 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(7500/5) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Đáp số

f_n = 6,164 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design