Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 48N2​ = 72

Một động cơ 15 kW chạy ở 1440 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 48 răng, ăn khớp với một bánh răng có 72 răng. Bỏ qua tổn thất. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 15 kWn1 = 1440 rpmN1 = 48N2 = 72η = 100%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 30B = 36C = 15D = 60

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (30 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (36 răng). Bánh răng C (15 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (60 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 1440 rpmA = 30B = 36C = 15D = 60
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Td = ?

Một trục đặc phải truyền 15 kW ở 1450 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = −30σy​ = 30τxy​ = −10MPa

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = −10 MPa, với σz = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τabs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σx = −30 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 0σy​ = 90τxy​ = −60MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 0 MPaσy = 90 MPaτxy = −60 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
100 kNØ40110 GPaØ80/60300 mmδ = ?

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 300 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 100 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 100 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 30 mmĐồng1,5 mØ 12 mmNhôm0,5 mP = 70 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 70 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2 m50 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 40 kN/mζ = 0,6m = 8 kg

Một vật 8 kg trên lò xo có độ cứng 40 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,6. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 8 kgk = 40 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 50k2​ = 40m = 100 kg

Một vật 100 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 50 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 40 kN/m. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk1 = 50 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 99,47 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Đáp số

T1 = 99,47 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 300 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 1440·30/36 = 1200 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 1200·15/60 = 300 rpm

Đáp số

nout = 300 rpm

tỉ số truyền tổng = 4,8 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,694 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·613592) = 0,04701 rad
φ = 0,04701·180/π = 2,694°

Đáp số

φ = 2,694°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 23,26 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·98786/(π·40)) = 23,26 mm

Đáp số

d = 23,26 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τabs = 31,62 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σmax − σmin)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

στxyCσ1​σ2​

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 0 MPa, R = √((−30)² + (−10)²) = 31,62 MPa
σ1 = 31,62 MPa, σ2 = −31,62 MPa, σz = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63,25, 31,62, 31,62)/2 = 31,62 MPa

Đáp số

τabs = 31,62 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = −28,04 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 45 + −45·0,766 + −60·0,6428 = −28,04 MPa

Đáp số

σθ = −28,04 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,06082 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4,932 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 100000·300/4,932 × 10⁸ = 0,06082 mm

Đáp số

δ = 0,06082 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,691 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 99,03 MPa
σ2 = 618,9 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 99,03·1500/117000 = 1,27 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 618,9·500/70000 = 4,421 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,691 mm

Đáp số

δ = 5,691 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 367,2 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/1400² = 367173 N = 367,2 kN

Đáp số

Pcr = 367,2 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 49,35 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σcr = 49,35 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 9,003 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(40000/8) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,6²) = 9,003 Hz

Đáp số

fd = 9,003 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 2,373 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/50 + 1/40 → keq = 50·40/(50 + 40) = 22,22 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(22222/100) = 14,91 rad/s
fn = 14,91/(2π) = 2,373 Hz

Đáp số

fn = 2,373 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design