Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 15N2​ = 36

Một động cơ 3 kW chạy ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 15 răng, ăn khớp với một bánh răng có 36 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 98%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.

P = 3 kWn1 = 1450 rpmN1 = 15N2 = 36η = 98%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 45B = 48C = 16D = 30

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (45 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (16 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (30 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.

nin = 3000 rpmA = 45B = 48C = 16D = 30
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 100 N·md = 25 mmL = 2,5 mφ = ?

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = ?30 kW, 750 rpm

Một trục đặc đồng thau truyền 30 kW ở 750 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 75 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,75° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 30 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 160σy​ = 10τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 160 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.

σx = 160 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​τxy​bề mặt trên của trục

Một trục đặc đường kính 20 mm chịu một mô-men uốn 200 N·m cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.

d = 20 mmM = 200 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
P = ?12300 mm500 mmØ30Ø40δ = 0,5 mm

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 30 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 40 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,5 mm.

đoạn 1: thép, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
60 kN12500 mm200 mmØ25Ø50σ2​ = ?

Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 50 mm, chiều dài 200 mm, E = 70 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 60 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 2,5 md = 40 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 55 kNL = 1 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 55 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 55 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 10 kN/mζ = 0,5m = 80 kg

Một vật 80 kg trên lò xo có độ cứng 10 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,5. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 80 kgk = 10 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 40k2​ = 80k3​ = 20m = 100 kg

Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 20 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 40 kN/m và k₂ = 80 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T2 = 46,47 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Mômen xoắn ra

T2 = 19,76·36/15·0,98 = 46,47 N·m

Đáp số

T2 = 46,47 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nout = 1500 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

nB = 3000·45/48 = 2813 rpm = nC

Cấp thứ hai

nout = 2813·16/30 = 1500 rpm

Đáp số

nout = 1500 rpm

tỉ số truyền tổng = 2 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 9,577 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(39000·38350) = 0,1672 rad
φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Đáp số

φ = 9,577°
4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 52,54 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·75)) = 29,6 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·381972/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 52,54 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(29,6, 52,54) = 52,54 mm

Đáp số

d = 52,54 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: θp = 3,797 °

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

στxyCσ1​σ2​

Góc trên vòng tròn

Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.

2θp = atan2(2·10, 160 − 10) = 7,595°

Góc trên phần tử

θp = 3,797°

Đáp số

θp = 3,797°

Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ1 = 412 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa
στxyCσ1​σ2​

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 127,3 MPa
R = √(127,3² + 254,6²) = 284,7 MPa
σ1 = C + R = 412 MPa
σ2 = C − R = −157,4 MPa

Đáp số

σ1 = 412 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 87,12 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,5/5,739 × 10⁻⁶ = 87120 N = 87,12 kN

Đáp số

P = 87,12 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ2 = 23,77 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

Phần của đoạn 2

F2 = 60000·687223/883573 = 46667 N

Ứng suất

σ2 = 46667/1963 = 23,77 MPa (nén)

Đáp số

σ2 = 23,77 MPa
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 39,69 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·2500 = 2500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Đáp số

Pcr = 39,69 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 28,88 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N
KL = 0,7·1000 = 700 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·700²/(π³·200000))^(1/4) = 28,88 mm

Đáp số

d = 28,88 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 96,96, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 1,541 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(10000/80) = 11,18 rad/s
fn = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,5²) = 1,541 Hz

Đáp số

fd = 1,541 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: fn = 2,084 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k12 = 40 + 80 = 120 kN/m
keq = 120·20/(120 + 20) = 17,14 kN/m

Tần số riêng

ωn = √(17143/100) = 13,09 rad/s
fn = 13,09/(2π) = 2,084 Hz

Đáp số

fn = 2,084 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design