Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 0,75 kW chạy ở 1500 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 30 răng, ăn khớp với một bánh răng có 60 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 0,75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 30N2 = 60η = 97%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một dây đai hở nối puli 125 mm và puli 500 mm có tâm cách nhau 800 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.
d1 = 125 mmd2 = 500 mmC = 800 mm
θ = °
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng phải chịu mô-men xoắn 400 N·m. Đường kính trong của nó bằng 0,5 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất do.
T = 400 N·mdi/do = 0,5τallow = 60 MPa
do = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 300 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 0 MPa và σᵧ = 40 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 50 MPa?
σx = 0 MPaσy = 40 MPaσ1 = 50 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.
σx = 50 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPa
σvM = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.
P = 105 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 115 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)đoạn 2: Ø12 mm, 1 m, đồng (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 10 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 10 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 25 mm được theo sau 4 chu kỳ sau bởi đỉnh 1,2 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 25 mmx4 = 1,2 mmn = 4
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 10 kN/m và k₂ = 60 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 9,263 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 4,775·60/30·0,97 = 9,263 N·m
Đáp số
T2 = 9,263 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: θ = 152,9 °
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Góc của dây đai
asin(0,2344) = 13,55°
Góc ôm
θ = 180 − 2·13,55 = 152,9°
Đáp số
θ = 152,9°
3.Xoắn của trục
Đáp số: do = 33,09 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0,9375)) = 33,09 mm
di = 0,5·33,09 = 16,54 mm
Đáp số
do = 33,09 mm
Một trục đặc sẽ cần d = 32,38 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 49,54 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm
Đáp số
d = 49,54 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τxy = 22,36 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính cần thiết
C = (0 + 40)/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 50 − 20 = 30 MPa
Ứng suất tiếp
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 20²) = 22,36 MPa
Đáp số
τxy = 22,36 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σvM = 116,6 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.
Ứng suất chính
C = 70 MPa, R = 53,85 MPa
σ1 = 123,9 MPa, σ2 = 16,15 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(123,9² − 123,9·16,15 + 16,15²) = 116,6 MPa
Đáp số
σvM = 116,6 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: δ = 13,37 mm
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 1337/100000 = 0,01337 = 13369 µε
Độ giãn dài
δ = ε·L = 0,01337·1000 mm = 13,37 mm
Đáp số
δ = 13,37 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 1017 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 91,51 MPa
σ2 = 1017 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 1017 MPa
Đáp số
σmax = 1017 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 53,97 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1000² = 53974 N = 53,97 kN
Đáp số
Pcr = 53,97 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 34,29 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 34,29 mm
Đáp số
d = 34,29 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 145,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,1199
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/4)·ln(25/1,2) = 0,7591
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7591/√(39,48 + 0,5763) = 0,1199
Đáp số
ζ = 0,1199
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 8,422 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.
keq = 10 + 60 = 70 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(70000/25) = 52,92 rad/s
fn = 52,92/(2π) = 8,422 Hz
Đáp số
fn = 8,422 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design