Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một dây đai chạy trên puli dẫn 125 mm ở 1450 vòng/phút. Lực căng là 800 N ở nhánh căng và 200 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.
d1 = 125 mmn1 = 1450 rpmT1 = 800 NT2 = 200 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Một dây đai hở nối puli 160 mm và puli 315 mm có tâm cách nhau 600 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.
d1 = 160 mmd2 = 315 mmC = 600 mm
θ = °
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc phải truyền 100 kW ở 1000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.
P = 100 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σy′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.
σx = −40 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một trục đặc đường kính 20 mm chịu một mô-men uốn 200 N·m cùng với mô-men xoắn 400 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.
d = 20 mmM = 200 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng nhôm (đường kính 60 mm, chiều dài 400 mm, E = 70 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,2 mm.
đoạn 1: thép, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: nhôm, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 400 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thanh (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 110 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 40 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thanh, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Nó phải chịu 30 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 30 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 2 kg trên lò xo có độ cứng 1 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,4. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.
m = 2 kgk = 1 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào lò xo k₃ = 80 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 10 kN/m và k₂ = 5 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 5,694 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ dây đai
v = 9,49 m/s
Công suất
P = (800 − 200)·9,49 = 5694 W = 5,694 kW
Đáp số
P = 5,694 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: θ = 165,2 °
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Góc của dây đai
asin(0,1292) = 7,421°
Góc ôm
θ = 180 − 2·7,421 = 165,2°
Đáp số
θ = 165,2°
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 15,32 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·38350) = 0,2674 rad
φ = 0,2674·180/π = 15,32°
Đáp số
φ = 15,32°
4.Xoắn của trục
Đáp số: d = 45,99 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m
Đường kính từ ứng suất cho phép
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm
Đáp số
d = 45,99 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σy′ = 14,91 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Phương trình biến đổi cho mặt y′
σy′ = −10 − (−30)·0,1736 − (−20)·0,9848 = 14,91 MPa
Kiểm tra
Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.
σx′ = −34,91 MPa, σx′ + σy′ = −20 = σx + σy
Đáp số
σy′ = 14,91 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σ1 = 412 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các ứng suất tại bề mặt
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa
Vòng tròn Mohr
C = σ/2 = 127,3 MPa
R = √(127,3² + 254,6²) = 284,7 MPa
σ1 = C + R = 412 MPa
σ2 = C − R = −157,4 MPa
Đáp số
σ1 = 412 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: P = 62,21 kN
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Diện tích
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
Các độ mềm
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2,021 × 10⁻⁶ mm/N
Tải
P = 0,2/3,215 × 10⁻⁶ = 62215 N = 62,21 kN
Đáp số
P = 62,21 kN
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 21,95 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 40000·155509/400946 = 15514 N
Ứng suất
σ2 = 15514/706,9 = 21,95 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 21,95 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 44,29 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44,29 kN
Đáp số
Pcr = 44,29 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 76,04 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 76,04 mm
Đáp số
d = 76,04 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 315,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: fd = 3,262 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Tần số riêng không cản
ωn = √(1000/2) = 22,36 rad/s
fn = 22,36/(2π) = 3,559 Hz
Tần số riêng có cản
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,4²) = 3,262 Hz
Đáp số
fd = 3,262 Hz
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 3,577 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 10 + 5 = 15 kN/m
keq = 15·80/(15 + 80) = 12,63 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(12632/25) = 22,48 rad/s
fn = 22,48/(2π) = 3,577 Hz
Đáp số
fn = 3,577 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design