Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 50N2​ = 72

Một động cơ 3 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 50 răng, ăn khớp với một bánh răng có 72 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn T1 trên trục động cơ.

P = 3 kWn1 = 960 rpmN1 = 50N2 = 72η = 97%
T1 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Ns​ = 15nr​ = ?Np​ = 12cần dẫn cố định

Trong một bộ bánh răng hành tinh, bánh răng mặt trời có 15 răng và mỗi bánh răng hành tinh có 12 răng. Cần dẫn hành tinh được giữ cố định và bánh mặt trời được dẫn động ở 1200 rpm. Tìm tốc độ nr của vành răng ngoài (độ lớn).

Ns = 15Np = 12ns = 1200 rpm
nr = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
d = ?T = 200 N·mL = 1,2 m

Một trục đồng thau đặc dài 1,2 m chịu mô-men xoắn 200 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 1°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Tdo​ = 100 mm, di​ = 75 mm

Một trục rỗng truyền 30 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.

P = 30 kWN = 500 rpmdo = 100 mmdi = 75 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σy​ = 50MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 0 MPa và σᵧ = 50 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 110 MPa?

σx = 0 MPaσy = 50 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 0σy​ = 40τxy​ = −40MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp τθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 30° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x (dương cùng chiều với τₓᵧ).

σx = 0 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 10 mmĐồng thau1 mP = 25 kN

Tìm độ giãn dài δ của thanh đồng thau dưới tải trọng dọc trục.

P = 25 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
P = ?Ø30110 GPaØ100/70500 mm

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất Pmax.

thanh: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m50 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
tx15 mm1 chu kỳ11 mm

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 15 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 11 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x0 = 15 mmx1 = 11 mmn = 1
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 30k2​ = 12m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 30 kN/m và k₂ = 12 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T1 = 29,84 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Đáp số

T1 = 29,84 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: nr = 461,5 rpm

Bộ bánh răng hành tinh: tốc độ của bánh mặt trời, vành răng và cần dẫn liên hệ với nhau bởi phương trình Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: nhìn từ cần dẫn, bộ truyền là một hệ bánh răng thông thường với các bánh hành tinh là bánh trung gian. Giữ cố định một phần tử biến bộ truyền thành bộ giảm tốc có một tỉ số truyền.

Số răng của vành răng

Nr = Ns + 2·Np = 15 + 2·12 = 39

Phương trình Willis khi cần dẫn cố định

Với nc = 0, bánh mặt trời dẫn động vành răng qua các bánh hành tinh, đóng vai trò bánh trung gian.

nr = −ns·Ns/Nr = −1200·15/39 = −461,5 rpm
|nr| = 461,5 rpm

Đáp số

nr = 461,5 rpm

Vành răng quay ngược chiều với bánh mặt trời.

3.Xoắn của trục

Đáp số: d = 43,53 mm

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực cần thiết

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(39000·0,01745) = 352589 mm⁴

Đường kính

d = (32J/π)1/4 = 43,53 mm

Đáp số

d = 43,53 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τmax = 4,269 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τmax = T·(do/2)/J = 572958·50/6,711 × 10⁶ = 4,269 MPa

Đáp số

τmax = 4,269 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 81,24 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (0 + 50)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 110 − 25 = 85 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 25²) = 81,24 MPa

Đáp số

τxy = 81,24 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τθ = −2,679 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

τθ = −−20·0,866 + −40·0,5 = −2,679 MPa

Đáp số

τθ = −2,679 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,183 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for đồng thau = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/100000 = 0,003183 = 3183 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,003183·1000 mm = 3,183 mm

Đáp số

δ = 3,183 mm
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: Pmax = 264,5 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0008, 0,0004545) = 0,0004545 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

Pmax = 0,0004545·5,82 × 10⁸ = 264536 N = 264,5 kN

Đáp số

Pmax = 264,5 kN
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 255,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1500² = 255879 N = 255,9 kN

Đáp số

Pcr = 255,9 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 17,27 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Đáp số

σcr = 17,27 MPa
11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,0493

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(15/11) = 0,3102

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3102/√(39,48 + 0,0962) = 0,0493

Đáp số

ζ = 0,0493
12.Dao động cơ học

Đáp số: keq = 42 kN/m

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 30 + 12 = 42 kN/m

Đáp số

keq = 42 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design