Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 0,55 kW ở 2900 rpm dẫn động một trục vít 1 đầu mối. Bánh vít có 80 răng và bộ truyền có hiệu suất 65%. Tìm mô-men đầu ra T_w trên trục bánh vít.

z = 1N_w = 80n = 2900 rpmP = 0,55 kWη = 65%

T_w = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (16 răng) trên trục vào quay 1500 rpm dẫn động bánh răng B (72 răng). Bánh răng C (30 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1500 rpmA = 16B = 72C = 30D = 45

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Trong một thí nghiệm xoắn, một mẫu đặc đường kính 15 mm bị xoắn bởi mô-men xoắn 50 N·m. Hai đầu của một đoạn đo dài 250 mm quay 1,8° so với nhau (vật liệu vẫn còn đàn hồi). Tìm mô-đun cắt G của vật liệu.

T = 50 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 1,8°

G = GPa

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 30 kW ở 300 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 600 mm và chiều dày thành 15 mm chứa khí ở áp suất dư 1,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 600 mmt = 15 mmp = 1,5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,4 mm.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 200 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaống: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 25 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 25 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 25 kg trên lò xo có độ cứng 8 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 25 kgk = 8 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 20 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_w = 94,18 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 2900·1/80 = 36,25 rpm

Mômen xoắn ra

ω_w = 2π·36,25/60 = 3,796 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,65·550/3,796 = 94,18 N·m

Đáp số

T_w = 94,18 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 222,2 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1500·16/72 = 333,3 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 333,3·30/45 = 222,2 rpm

Đáp số

n_out = 222,2 rpm

tỉ số truyền tổng = 6,75 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: G = 80,06 GPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mô-men quán tính độc cực và góc

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,8·π/180 = 0,03142 rad

Mô đun trượt

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(4970·0,03142) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Đáp số

G = 80,06 GPa

So sánh: thép ≈ 80 GPa, đồng thau ≈ 39 GPa, nhôm ≈ 26 GPa.

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 13,24 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,704 × 10⁶ = 13,24 MPa

Đáp số

τ_max = 13,24 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_max = 65,76 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính vòng tròn Mohr

τ_max = R = √(((80 − −50)/2)² + 10²) = 65,76 MPa

Đáp số

τ_max = 65,76 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 19,93 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1,5·300/15 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 15·sin²55° + 30·cos²55° = 19,93 MPa

Đáp số

σ_n = 19,93 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 91,39 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,4/4,377 × 10⁻⁶ = 91392 N = 91,39 kN

Đáp số

P = 91,39 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 495,9 kN

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,001, 0,0004545) = 0,0004545 (đồng thanh)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0004545·1,091 × 10⁹ = 495872 N = 495,9 kN

Đáp số

P_max = 495,9 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 5,426 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Đáp số

P_cr = 5,426 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 22,42 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 22,42 mm

Đáp số

d = 22,42 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 124,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 2,033 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(8000/25) = 17,89 rad/s

f_n = 17,89/(2π) = 2,847 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,847·√(1 − 0,7²) = 2,033 Hz

Đáp số

f_d = 2,033 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 60 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 40 = 60 kN/m

Đáp số

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design