Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 150 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 5 mm và tỉ số giảm tốc 3 : 1. Bánh răng nhỏ phải có bao nhiêu răng N₁?

a = 150 mmm = 5 mmi = 3

N₁ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 150 mm ở 1500 vòng/phút với puli 500 mm; tâm cách nhau 1200 mm. Hệ số ma sát là 0,35 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 500 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 150 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 500 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 60 mm, đường kính trong 42 mm, chiều dài 0,8 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 500 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 75 kW ở 3000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 50 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 10 MPa và σᵧ = −50 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 50 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 1000 mm và chiều dày thành 5 mm chứa khí ở áp suất dư 0,8 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm độ lớn của ứng suất cắt |τ_n| tác dụng dọc theo đường hàn.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thanh (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 110 GPa). Cả hai dài 800 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 40 mm, chiều dài 300 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 30 mm, chiều dài 200 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 100 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 20 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 20 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 10 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 7,8 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 10 mmx₁ = 7,8 mmn = 1

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 5 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 12 kN/m và k₂ = 100 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Bỏ qua cản và khối lượng của các lò xo. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₁ = 15

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/5 = 60

Chia theo tỉ số

N₁ = 60/(1 + 3) = 15

Đáp số

N₁ = 15

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 3,717 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,849 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,9971 = 2,71, T₂ = 500/2,71 = 184,5 N

Công suất

P = (500 − 184,5)·11,78 = 3,717 kW

Đáp số

P = 3,717 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,9117 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Góc xoắn

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·800/(26000·966855) = 0,01591 rad

φ = 0,01591·180/π = 0,9117°

Đáp số

φ = 0,9117°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 28,97 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·50)) = 28,97 mm

Đáp số

d = 28,97 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 63,25 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (10 + (−50))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 50 − (−20) = 70 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 30²) = 63,25 MPa

Đáp số

τ_xy = 63,25 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: |τ_n| = 18,79 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0,8·500/5 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

|τ_n| = (80 − 40)·sin 55°·cos 55° = 18,79 MPa

Đáp số

|τ_n| = 18,79 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,04448 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 50000·800/8,993 × 10⁸ = 0,04448 mm

Đáp số

δ = 0,04448 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 47,55 MPa

Các độ cứng

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 100000·424115/1,262 × 10⁶ = 33610 N

Ứng suất

σ₂ = 33610/706,9 = 47,55 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 47,55 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 35,25 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3500² = 35249 N = 35,25 kN

Đáp số

P_cr = 35,25 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 71,41 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 71,41 mm

Đáp số

d = 71,41 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 235,3, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,03951

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(10/7,8) = 0,2485

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2485/√(39,48 + 0,06173) = 0,03951

Đáp số

ζ = 0,03951

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 23,82 Hz

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 100 = 112 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(112000/5) = 149,7 rad/s

f_n = 149,7/(2π) = 23,82 Hz

Đáp số

f_n = 23,82 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design