Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 80 mm ở 1500 vòng/phút dẫn động một puli 250 mm bằng dây đai với độ trượt 1 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 250 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (12 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (30 răng). Bánh răng C (12 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (25 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 30C = 12D = 25

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng phải truyền 30 kW ở 500 rpm. Đường kính trong của nó bằng 0,7 lần đường kính ngoài, và ứng suất cắt không được vượt quá 40 MPa. Tìm đường kính ngoài nhỏ nhất d_o.

P = 30 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 20 MPa và σᵧ = 70 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 120 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 120 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 800 mm và chiều dày thành 10 mm chứa khí ở áp suất dư 0,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 60° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 800 mmt = 10 mmp = 0,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh gồm một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) nối đầu với đầu với một đoạn làm bằng đồng (đường kính 50 mm, chiều dài 500 mm, E = 120 GPa). Nó được ngàm một đầu và bị kéo ở đầu kia. Tìm tải dọc trục P làm nó giãn tổng cộng 0,25 mm.

đoạn 1: thép, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 95 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 10 kg trên lò xo có độ cứng 100 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,6. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 10 kgk = 100 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 10 kg treo vào lò xo k₃ = 80 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 25 kN/m và k₂ = 50 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 475,2 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

1500·80/250 = 480 rpm

Khi có trượt

n₂ = 480·0,99 = 475,2 rpm

Đáp số

n₂ = 475,2 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 184,3 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 960·12/30 = 384 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 384·12/25 = 184,3 rpm

Đáp số

n_out = 184,3 rpm

tỉ số truyền tổng = 5,208 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 8,314 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·79522) = 0,1451 rad

φ = 0,1451·180/π = 8,314°

Đáp số

φ = 8,314°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d_o = 45,79 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Đường kính ngoài từ ứng suất cho phép

T = 573 N·m = 572958 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·572958/(π·40·0,7599)) = 45,79 mm

d_i = 0,7·45,79 = 32,05 mm

Đáp số

d_o = 45,79 mm

Một trục đặc sẽ cần d = 41,78 mm; trục rỗng lớn hơn một chút nhưng nhẹ hơn nhiều.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 70,71 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (20 + 70)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 120 − 45 = 75 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 25²) = 70,71 MPa

Đáp số

τ_xy = 70,71 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 12,5 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0,5·400/10 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 10·sin²60° + 20·cos²60° = 12,5 MPa

Đáp số

σ_n = 12,5 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P = 30,36 kN

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Các độ mềm

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Tải

P = 0,25/8,234 × 10⁻⁶ = 30363 N = 30,36 kN

Đáp số

P = 30,36 kN

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 3,672 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75,6·2000/100000 = 1,512 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·500/70000 = 2,16 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,672 mm

Đáp số

δ = 3,672 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 313,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Đáp số

P_cr = 313,9 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 11,99 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Đáp số

σ_cr = 11,99 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 12,73 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(100000/10) = 100 rad/s

f_n = 100/(2π) = 15,92 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 15,92·√(1 − 0,6²) = 12,73 Hz

Đáp số

f_d = 12,73 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 9,902 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 25 + 50 = 75 kN/m

k_eq = 75·80/(75 + 80) = 38,71 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(38710/10) = 62,22 rad/s

f_n = 62,22/(2π) = 9,902 Hz

Đáp số

f_n = 9,902 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design