Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một dây đai chạy trên puli dẫn 160 mm ở 1440 vòng/phút. Lực căng là 800 N ở nhánh căng và 320 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 800 NT₂ = 320 N

P = kW

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (12 răng) trên trục vào quay 1450 rpm dẫn động bánh răng B (30 răng). Bánh răng C (50 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (80 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 30C = 50D = 80

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 20 kW ở 500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 45° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 10 MPa và τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 275 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = 10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 40 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 300 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 300 kNthanh: Ø40 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 160 MPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa, ứng suất cho phép 50 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 50 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 41,4 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 41,4 mmn = 1

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 5 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 30 kN/m và k₂ = 15 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 5,791 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ dây đai

v = 12,06 m/s

Công suất

P = (800 − 320)·12,06 = 5791 W = 5,791 kW

Đáp số

P = 5,791 kW

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 362,5 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1450·12/30 = 580 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 580·50/80 = 362,5 rpm

Đáp số

n_out = 362,5 rpm

tỉ số truyền tổng = 4 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 10,13 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·79522) = 0,1768 rad

φ = 0,1768·180/π = 10,13°

Đáp số

φ = 10,13°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 4,937 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·37,5/2,902 × 10⁶ = 4,937 MPa

Đáp số

τ_max = 4,937 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −5 MPa

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 15 − (−5)·0 − (−20)·(−1) = −5 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 35 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −5 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 13,75

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 10 MPa, R = 10 MPa

σ₁ = 20 MPa, σ₂ = 0 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(20² − 20·0 + 0²) = 20 MPa

n = 275/20 = 13,75

Đáp số

n = 13,75

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1091 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Độ co ngắn

δ = 300000·400/1,1 × 10⁹ = 0,1091 mm

Đáp số

δ = 0,1091 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 473,2 kN

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·8482 = 9,464 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (đồng thau)

Tải lớn nhất

P_max = 0,0005·9,464 × 10⁸ = 473202 N = 473,2 kN

Đáp số

P_max = 473,2 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 109,9 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1000 = 2000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Đáp số

P_cr = 109,9 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 2,142 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/12,5 = 960

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/960² = 2,142 MPa

Đáp số

σ_cr = 2,142 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,03003

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/1)·ln(50/41,4) = 0,1887

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1887/√(39,48 + 0,03562) = 0,03003

Đáp số

ζ = 0,03003

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 45 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 15 = 45 kN/m

Đáp số

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design