Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 90 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 2,5 mm và tỉ số giảm tốc 3 : 1. Bánh răng lớn phải có bao nhiêu răng N₂?

a = 90 mmm = 2,5 mmi = 3

N₂ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli 80 mm và puli 200 mm có tâm cách nhau 600 mm. Tìm góc ôm θ trên puli nhỏ hơn, theo độ.

d₁ = 80 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau truyền 5 kW ở 1000 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,5° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa và τₓᵧ = 40 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 20° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −10 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng (đường kính ngoài 80 mm, đường kính trong 60 mm, E = 120 GPa). Cả hai dài 300 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 200 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 200 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một thanh thép (đường kính 20 mm, E = 200 GPa, ứng suất cho phép 250 MPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 70 mm, E = 70 GPa, ứng suất cho phép 70 MPa). Chúng bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng. Tìm tải lớn nhất P_max.

thanh: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaống: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 2 kg trên lò xo có độ cứng 10 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,35. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 2 kgk = 10 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 100 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 50 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₂ = 54

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2,5 = 72

Chia theo tỉ số

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

N₂ = 3·18 = 54

Đáp số

N₂ = 54

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: θ = 168,5 °

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc của dây đai

asin(0,1) = 5,739°

Góc ôm

θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°

Đáp số

θ = 168,5°

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 3,562 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·251327) = 0,06217 rad

φ = 0,06217·180/π = 3,562°

Đáp số

φ = 3,562°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 34,57 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

d_τ = ∛(16·47746/(π·80)) = 14,49 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·47746/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 34,57 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(14,49, 34,57) = 34,57 mm

Đáp số

d = 34,57 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 98,69 MPa

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 50 − (−30)·0,766 − 40·(−0,6428) = 98,69 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 1,307 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 98,69 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 160,6 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 60 MPa, R = 86,02 MPa

σ₁ = 146 MPa, σ₂ = −26,02 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(146² − 146·(−26,02) + (−26,02)²) = 160,6 MPa

Đáp số

σ_vM = 160,6 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,1481 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 200000·300/4,053 × 10⁸ = 0,1481 mm

Đáp số

δ = 0,1481 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: P_max = 343,2 kN

Diện tích

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

Biến dạng quyết định

ε = min(0,00125, 0,001) = 0,001 (nhôm)

Tải lớn nhất

P_max = 0,001·3,432 × 10⁸ = 343219 N = 343,2 kN

Đáp số

P_max = 343,2 kN

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 63,97 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Đáp số

P_cr = 63,97 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 49,35 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σ_cr = 49,35 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 10,54 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(10000/2) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,35²) = 10,54 Hz

Đáp số

f_d = 10,54 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 33,33 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/50 → k_eq = 100·50/(100 + 50) = 33,33 kN/m

Đáp số

k_eq = 33,33 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design