Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 11 kW chạy ở 960 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 25 răng, ăn khớp với một bánh răng có 45 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 95%. Tìm mômen xoắn ra T₂ trên trục bánh răng.

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 25N₂ = 45η = 95%

T₂ = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một động cơ 1,5 kW ở 1440 rpm dẫn động bánh răng A (45 răng), ăn khớp với bánh răng B (50 răng). Bánh răng C (60 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (72 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 97%. Tìm mô-men đầu ra T_out.

P = 1,5 kWn_in = 1440 rpmA = 45B = 50C = 60D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng thép (đường kính ngoài 30 mm, đường kính trong 18 mm, chiều dài 0,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 500 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc thép truyền 5 kW ở 500 rpm. Ứng suất cắt không được vượt quá 80 MPa và góc xoắn không được vượt quá 0,75° trên mỗi m chiều dài. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn cả hai giới hạn.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 30 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 40° ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Vật liệu có giới hạn chảy 420 MPa. Tìm hệ số an toàn n chống chảy theo tiêu chuẩn von Mises (năng lượng biến dạng hình dạng).

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 30 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 600 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 150 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 150 kNthanh: Ø30 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 25 kNđoạn 1: Ø40 mm, 2 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Nó phải chịu 60 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 60 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 200 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 20 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 200 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 200 kgk = 20 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 12 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 40 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₂ = 187,1 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100,5 = 109,4 N·m

Mômen xoắn ra

T₂ = 109,4·45/25·0,95 = 187,1 N·m

Đáp số

T₂ = 187,1 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_out = 12,48 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

n_out = 1440·(45/50)·(60/72) = 1080 rpm

ω_out = 2π·1080/60 = 113,1 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

P_out = 1500·0,97² = 1411 W

T_out = P_out/ω_out = 1411/113,1 = 12,48 N·m

Đáp số

T_out = 12,48 N·m

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 2,587 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Góc xoắn

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·500/(80000·69216) = 0,04515 rad

φ = 0,04515·180/π = 2,587°

Đáp số

φ = 2,587°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 31,04 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Đường kính theo điều kiện bền

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Đường kính theo điều kiện cứng

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,04 mm

Đường kính quyết định

Cả hai giới hạn đều phải thỏa, nên đường kính lớn hơn quyết định.

d = max(18,25, 31,04) = 31,04 mm

Đáp số

d = 31,04 mm

Ở đây điều kiện cứng quyết định.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = 14,59 MPa

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 45 − 5·0,1736 − 30·0,9848 = 14,59 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 75,41 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = 14,59 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: n = 3,969

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 5 MPa, R = 61,03 MPa

σ₁ = 66,03 MPa, σ₂ = −56,03 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(66,03² − 66,03·(−56,03) + (−56,03)²) = 105,8 MPa

n = 420/105,8 = 3,969

Đáp số

n = 3,969

n > 1 nghĩa là điểm không bị chảy; Tresca thận trọng hơn von Mises một chút.

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,09095 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·8482 = 9,896 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 150000·600/9,896 × 10⁸ = 0,09095 mm

Đáp số

δ = 0,09095 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,992 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19,89·2000/100000 = 0,3979 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·1500/117000 = 1,594 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,992 mm

Đáp số

δ = 1,992 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 32,75 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·1500 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32,75 kN

Đáp số

P_cr = 32,75 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 43,37 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 43,37 mm

Đáp số

d = 43,37 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 92,23, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,05

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·200) = 4000 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 200/4000 = 0,05

Đáp số

ζ = 0,05

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 9,231 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/40 → k_eq = 12·40/(12 + 40) = 9,231 kN/m

Đáp số

k_eq = 9,231 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design