Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 2,2 kW chạy ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng, ăn khớp với một bánh răng có 60 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 97%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 2,2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 20N2 = 60η = 97%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay 960 rpm dẫn động bánh răng B (16 răng). Bánh răng C (24 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (80 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 960 rpmA = 15B = 16C = 24D = 80
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.
T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng truyền 20 kW ở 300 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.
P = 20 kWN = 300 rpmdo = 80 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −40 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −20 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng τmax.
σx = −40 MPaσy = −40 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa và τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σvM.
σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 25 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 65 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 1,5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 110 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.
P = 110 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 10 mm được theo sau 2 chu kỳ sau bởi đỉnh 1,5 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 10 mmx2 = 1,5 mmn = 2
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 40 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 60 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 5 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 40 kgk1 = 60 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 42,16 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 14,49·60/20·0,97 = 42,16 N·m
Đáp số
T2 = 42,16 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 270 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 960·15/16 = 900 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 900·24/80 = 270 rpm
Đáp số
nout = 270 rpm
tỉ số truyền tổng = 3,556 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 4,434 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Góc xoắn
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·79522) = 0,07739 rad
φ = 0,07739·180/π = 4,434°
Đáp số
φ = 4,434°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 6,755 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴
Ứng suất tiếp lớn nhất
τmax = T·(do/2)/J = 636620·40/3,77 × 10⁶ = 6,755 MPa
Đáp số
τmax = 6,755 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: τmax = 20 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Bán kính vòng tròn Mohr
τmax = R = √(((−40 − −40)/2)² + −20²) = 20 MPa
Đáp số
τmax = 20 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σvM = 55,68 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σY; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σY/2.
Ứng suất chính
C = 10 MPa, R = 31,62 MPa
σ1 = 41,62 MPa, σ2 = −21,62 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(41,62² − 41,62·(−21,62) + (−21,62)²) = 55,68 MPa
Đáp số
σvM = 55,68 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 1105 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 221/200000 = 0,001105 = 1105 µε
Đáp số
ε = 1105 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 323,3 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 51,73 MPa
σ2 = 323,3 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 323,3 MPa
Đáp số
σmax = 323,3 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 38,59 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 1·1500 = 1500 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN
Đáp số
Pcr = 38,59 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: d = 91,78 mm
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Tải trọng tới hạn yêu cầu
Pcr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
Giải tìm đường kính
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 91,78 mm
Đáp số
d = 91,78 mm
Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 217,9, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,1493
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/2)·ln(10/1,5) = 0,9486
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9486/√(39,48 + 0,8998) = 0,1493
Đáp số
ζ = 0,1493
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 4,615 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/60 + 1/5 → keq = 60·5/(60 + 5) = 4,615 kN/m
Đáp số
keq = 4,615 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design