Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một trục vít 2 đầu mối quay ở 1440 rpm và dẫn động một bánh vít có 60 răng. Tìm tốc độ n_w của bánh vít.

z = 2N_w = 60n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 125 mm ở 960 vòng/phút với puli 315 mm; tâm cách nhau 500 mm. Hệ số ma sát là 0,3 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 2000 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 315 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm có bậc được ngàm tại A. Đoạn AB có đường kính 75 mm và chiều dài 0,8 m; đoạn BC có đường kính 30 mm và chiều dài 0,8 m. Một mô-men xoắn 750 N·m tác dụng tại đầu tự do C. Tìm góc xoắn φ_C của đầu C, theo độ.

T = 750 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 75 kW ở 300 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 40 MPa và σᵧ = −10 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 60 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa và τₓᵧ = −60 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 60° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh thép dưới tải trọng dọc trục.

P = 35 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 60 kNđoạn 1: Ø40 mm, 0,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 20 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 20 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (thép)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 12 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 20 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 80 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 12 kgk = 20 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 40 kg treo vào lò xo k₃ = 5 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 15 kN/m và k₂ = 80 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_w = 48 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ bánh vít

n_w = n·z/N_w = 1440·2/60 = 48 rpm

Đáp số

n_w = 48 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 7,075 kW

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Góc ôm

θ = 2,759 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,8278 = 2,288, T₂ = 2000/2,288 = 874 N

Công suất

P = (2000 − 874)·6,283 = 7,075 kW

Đáp số

P = 7,075 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ_C = 17,05 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Các mô-men quán tính độc cực

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn của từng đoạn

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·800/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,007429 rad

φ_BC = 750000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad

Tổng góc xoắn

φ_C = 0,007429 + 0,2902 = 0,2976 rad = 17,05°

Đáp số

φ_C = 17,05°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 74,07 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·30/966855 = 74,07 MPa

Đáp số

τ_max = 74,07 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 37,42 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (40 + (−10))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 15 = 45 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37,42 MPa

Đáp số

τ_xy = 37,42 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = −46,96 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 50 + 90·−0,5 + −60·0,866 = −46,96 MPa

Đáp số

σ_θ = −46,96 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,5348 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 71,3/200000 = 0,0003565 = 356,5 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0003565·1500 mm = 0,5348 mm

Đáp số

δ = 0,5348 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 5,34 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 47,75·500/100000 = 0,2387 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·2000/117000 = 5,101 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,34 mm

Đáp số

δ = 5,34 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 11,07 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11,07 kN

Đáp số

P_cr = 11,07 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 21,21 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 21,21 mm

Đáp số

d = 21,21 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 132, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,08165

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979,8 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 80/979,8 = 0,08165

Đáp số

ζ = 0,08165

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 1,734 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 15 + 80 = 95 kN/m

k_eq = 95·5/(95 + 5) = 4,75 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(4750/40) = 10,9 rad/s

f_n = 10,9/(2π) = 1,734 Hz

Đáp số

f_n = 1,734 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design