Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp
n1·N1 = n2·N2
Mômen xoắn
T2 = T1·(N2/N1)·η
Công suất
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép
tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp
τ = T·r/J
Trục đặc
J = πd⁴/32
Trục rỗng
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn
φ = TL/(GJ)
Công suất
P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

  1. Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
  2. Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
  3. Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
  4. Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm
C = (σx + σy)/2
Bán kính
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Ứng suất chính
σ1,2 = C ± R
Phương chính
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Mặt phẳng nghiêng
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Phương pháp

  1. Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
  4. Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp
σ = F/A
Biến dạng
ε = ΔL/L
Định luật Hooke
σ = E·ε
Độ giãn dài
ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt
εT = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Từ độ võng tĩnh
ωn = √(g/δst)
Cản tới hạn
cc = 2√(km) = 2mωn
Hệ số cản
ζ = c/cc
Tần số có cản
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song
k = k1 + k2
Lò xo nối tiếp
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
N1​ = 30, m = 2 mm

Một động cơ 3 kW quay ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 30 răng và mô-đun 2 mm. Tìm lực vòng Ft trên các răng của bánh răng nhỏ.

P = 3 kWn = 2900 rpmN1 = 30m = 2 mm
Ft = N
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
A = 15B = 16C = 16D = ?

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay ở 1450 rpm và dẫn động bánh răng B (16 răng). Bánh răng C (16 răng) được gắn cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D trên trục ra. Trục ra phải quay ở 870 rpm. Bánh răng D phải có bao nhiêu răng ND?

nin = 1450 rpmA = 15B = 16C = 16nout = 870 rpm
ND =
3.Xoắn của trụcTrung bình
T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mφ = ?

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
d = 20 mmT0​ = 200 N·mACBa = 2 mb = 1,2 m

Một trục đặc nhôm đường kính 20 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 200 N·m đặt tại C, cách A 2 m và cách B 1,2 m. Tìm mô-men phản lực TA tại tường A.

d = 20 mmT0 = 200 N·ma = 2 mb = 1,2 m
TA = N·m
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
σx​ = 80σy​ = −50MPaτxy​ = ?

Một điểm có σₓ = 80 MPa và σᵧ = −50 MPa. Ứng suất cắt τxy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt 120 MPa?

σx = 80 MPaσy = −50 MPaσ1 = 120 MPa
τxy = MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
σx​ = 120σy​ = −50τxy​ = 10MPa

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa và τₓᵧ = 10 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σθ trên một mặt có pháp tuyến xoay 20° theo chiều kim đồng hồ so với trục x.

σx = 120 MPaσy = −50 MPaτxy = 10 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Ø 30 mmThép1 mP = 35 kN

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Ø 35 mmThép1 mØ 20 mmĐồng thau1,5 mP = 30 kN

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 30 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1,5 m, đồng thau (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m25 × 100 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 20 kNL = 1 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Nó phải chịu 20 kN với hệ số an toàn 2 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 20 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (nhôm)
d = mm
11.Dao động cơ họcTrung bình
k = 200 kN/mζ = 0,3m = 8 kg

Một vật 8 kg trên lò xo có độ cứng 200 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,3. Tìm tần số riêng có cản fd của dao động tự do theo Hz.

m = 8 kgk = 200 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Dao động cơ họcKhó
k1​ = 15k2​ = 40m = 25 kg

Một vật 25 kg treo vào hai lò xo đặt cạnh nhau (song song), có độ cứng k₁ = 15 kN/m và k₂ = 40 kN/m. Vật giữ nằm ngang. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: Ft = 329,3 N

Hình học bánh răng: mô-đun m quyết định kích thước răng. Bánh răng có N răng có đường kính vòng chia d = m·N, hai bánh răng ăn khớp có cùng mô-đun, và khoảng cách trục của chúng là a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Vận tốc trên vòng chia là v = π·d·n/60, và lực vòng trên răng suy ra từ mô-men: Ft = 2T/d.

Mô-men trên bánh răng nhỏ

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Đường kính vòng chia

d = m·N = 2·30 = 60 mm

Lực vòng

Ft = 2T/d = 2·9,879/0,06 = 329,3 N

Đáp số

Ft = 329,3 N
2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: ND = 25

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Tốc độ của trục trung gian

nB = nC = 1450·15/16 = 1359 rpm

Số răng của bánh răng D

ND = C·nC/nout = 16·1359/870 = 25

Đáp số

ND = 25
3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,347 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·613592) = 0,02351 rad
φ = 0,02351·180/π = 1,347°

Đáp số

φ = 1,347°
4.Xoắn của trục

Đáp số: TA = 75 N·m

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho TA + TB = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1,2/3,2 = 75 N·m
TB = 200·2/3,2 = 125 N·m

Đáp số

TA = 75 N·m
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τxy = 82,46 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (80 + (−50))/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 120 − 15 = 105 MPa
στxyCσ1​σ2​

Ứng suất tiếp

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 65²) = 82,46 MPa

Đáp số

τxy = 82,46 MPa
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σθ = 93,69 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi

σθ = 35 + 85·0,766 + 10·−0,6428 = 93,69 MPa

Đáp số

σθ = 93,69 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 247,6 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/200000 = 0,0002476 = 247,6 µε

Đáp số

ε = 247,6 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,588 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 31,18 MPa
σ2 = 95,49 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ1 = σ1L1/E1 = 31,18·1000/200000 = 0,1559 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 95,49·1500/100000 = 1,432 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,588 mm

Đáp số

δ = 1,588 mm
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 20,4 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2100² = 20398 N = 20,4 kN

Đáp số

Pcr = 20,4 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 27,57 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 0,7·1000 = 700 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·700²/(π³·70000))^(1/4) = 27,57 mm

Đáp số

d = 27,57 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 101,6, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: fd = 24,01 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ωn = √(200000/8) = 158,1 rad/s
fn = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

Tần số riêng có cản

fd = fn·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,3²) = 24,01 Hz

Đáp số

fd = 24,01 Hz
12.Dao động cơ học

Đáp số: keq = 55 kN/m

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Độ cứng tương đương

Các lò xo đặt cạnh nhau có chung độ võng và cộng các lực, nên độ cứng đơn giản cộng lại: k = k1 + k2.

keq = 15 + 40 = 55 kN/m

Đáp số

keq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design