Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 125 mm ở 2880 vòng/phút dẫn động một puli 300 mm bằng dây đai với độ trượt 4 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 300 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (16 răng) trên trục vào quay 1440 rpm dẫn động bánh răng B (32 răng). Bánh răng C (24 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (45 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 1440 rpmA = 16B = 32C = 24D = 45

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục rỗng đồng thau (đường kính ngoài 75 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 2,5 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 400 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.

T = 400 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục rỗng truyền 100 kW ở 1500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τ_max trong trục.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = 70 MPa, σᵧ = −20 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Phân tố được xoay 45° cùng chiều kim đồng hồ. Tìm ứng suất pháp σ_y′ trên các mặt của phân tố đã xoay vuông góc với trục y′ sau khi xoay.

σ_x = 70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 800 mm và chiều dày thành 12 mm chứa khí ở áp suất dư 2,5 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 20° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σ_n tác dụng vuông góc với đường hàn.

D = 800 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng đồng thau (đường kính ngoài 120 mm, đường kính trong 60 mm, E = 100 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 50 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 50 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 80 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 2 m, đồng (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2,5 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 5 kg trên lò xo có độ cứng 150 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,5. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 5 kgk = 150 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào lò xo k₃ = 100 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 60 kN/m và k₂ = 25 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 1152 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

2880·125/300 = 1200 rpm

Khi có trượt

n₂ = 1200·0,96 = 1152 rpm

Đáp số

n₂ = 1152 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 384 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 1440·16/32 = 720 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 720·24/45 = 384 rpm

Đáp số

n_out = 384 rpm

tỉ số truyền tổng = 3,75 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 0,5063 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Góc xoắn

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·2500/(39000·2,902 × 10⁶) = 0,008837 rad

φ = 0,008837·180/π = 0,5063°

Đáp số

φ = 0,5063°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 54,04 MPa

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Ứng suất tiếp lớn nhất

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·20/235619 = 54,04 MPa

Đáp số

τ_max = 54,04 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_y′ = −15 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Phương trình biến đổi cho mặt y′

σ_y′ = 25 − 45·0 − (−40)·(−1) = −15 MPa

Kiểm tra

Tổng các ứng suất pháp không thay đổi khi xoay.

σ_x′ = 65 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Đáp số

σ_y′ = −15 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_n = 78,46 MPa

Các ứng suất trong thành

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2,5·400/12 = 83,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41,67 MPa

Biến đổi sang đường hàn

Lấy x dọc theo trục (σ_a) và y theo chiều vòng (σ_h). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.

σ_n = 41,67·sin²20° + 83,33·cos²20° = 78,46 MPa

Đáp số

σ_n = 78,46 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,02113 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·8482 = 9,464 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 50000·400/9,464 × 10⁸ = 0,02113 mm

Đáp số

δ = 0,02113 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 397,9 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 397,9 MPa

Đáp số

σ_max = 397,9 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 6,218 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2500 = 5000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/5000² = 6218 N = 6,218 kN

Đáp số

P_cr = 6,218 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 9,715 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Đáp số

σ_cr = 9,715 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 23,87 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(150000/5) = 173,2 rad/s

f_n = 173,2/(2π) = 27,57 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 27,57·√(1 − 0,5²) = 23,87 Hz

Đáp số

f_d = 23,87 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 7,628 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 60 + 25 = 85 kN/m

k_eq = 85·100/(85 + 100) = 45,95 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(45946/20) = 47,93 rad/s

f_n = 47,93/(2π) = 7,628 Hz

Đáp số

f_n = 7,628 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design