Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Hai trục song song cách nhau 75 mm. Chúng phải được nối bằng một cặp bánh răng trụ răng thẳng có mô-đun 2,5 mm và tỉ số giảm tốc 2 : 1. Bánh răng nhỏ phải có bao nhiêu răng N₁?

a = 75 mmm = 2,5 mmi = 2

N₁ =

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (12 răng) trên trục vào quay 2900 rpm dẫn động bánh răng B (32 răng). Bánh răng C (20 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (80 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 32C = 20D = 80

n_out = rpm

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc đồng thau được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc phải truyền 30 kW ở 3000 rpm mà ứng suất tiếp không vượt quá 60 MPa. Tìm đường kính nhỏ nhất d thỏa mãn.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm có σₓ = −40 MPa và σᵧ = −30 MPa. Ứng suất cắt τ_xy (độ lớn) có thể lớn đến mức nào trước khi ứng suất chính lớn nhất đạt −15 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = −15 MPa

τ_xy = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một trục đặc đường kính 50 mm chịu một mô-men uốn 300 N·m cùng với mô-men xoắn 250 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ₁.

d = 50 mmM = 300 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm độ giãn dài δ của thanh nhôm dưới tải trọng dọc trục.

P = 20 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σ_max trong thanh.

P = 85 kNđoạn 1: Ø30 mm, 0,5 m, đồng (E = 117 GPa)đoạn 2: Ø16 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 75 kN với hệ số an toàn 3 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 75 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 250 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 50 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 2120 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.

m = 250 kgk = 50 kN/mc = 2120 N·s/m

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 5 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 20 kN/m. Tìm độ cứng tương đương k_eq của hệ lò xo theo kN/m.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: N₁ = 20

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Tổng số răng

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·75/2,5 = 60

Chia theo tỉ số

N₁ = 60/(1 + 2) = 20

Đáp số

N₁ = 20

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n_out = 271,9 rpm

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Cấp thứ nhất

n_B = 2900·12/32 = 1088 rpm = n_C

Cấp thứ hai

n_out = 1088·20/80 = 271,9 rpm

Đáp số

n_out = 271,9 rpm

tỉ số truyền tổng = 10,67 : 1

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 5,845 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(39000·251327) = 0,102 rad

φ = 0,102·180/π = 5,845°

Đáp số

φ = 5,845°

4.Xoắn của trục

Đáp số: d = 20,09 mm

Mômen xoắn

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Đường kính từ ứng suất cho phép

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Đáp số

d = 20,09 mm

Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_xy = 19,36 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.

Bán kính cần thiết

C = (−40 + (−30))/2 = −35 MPa

R = σ₁ − C = −15 − (−35) = 20 MPa

Ứng suất tiếp

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 5²) = 19,36 MPa

Đáp số

τ_xy = 19,36 MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ₁ = 28,13 MPa

Các ứng suất tại bề mặt

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Vòng tròn Mohr

C = σ/2 = 12,22 MPa

R = √(12,22² + 10,19²) = 15,91 MPa

σ₁ = C + R = 28,13 MPa

σ₂ = C − R = −3,688 MPa

Đáp số

σ₁ = 28,13 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,819 mm

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/70000 = 0,0009095 = 909,5 µε

Độ giãn dài

δ = ε·L = 0,0009095·2000 mm = 1,819 mm

Đáp số

δ = 1,819 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ_max = 422,8 MPa

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Ứng suất lớn nhất

Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.

σ_max = 422,8 MPa

Đáp số

σ_max = 422,8 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 4,498 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 2·2000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/4000² = 4498 N = 4,498 kN

Đáp số

P_cr = 4,498 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 71,77 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 71,77 mm

Đáp số

d = 71,77 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 111,5, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,2998

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Cản tới hạn

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·250) = 7071 N·s/m

Hệ số cản

ζ = c/c_c = 2120/7071 = 0,2998

Đáp số

ζ = 0,2998

ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.

12.Dao động cơ học

Đáp số: k_eq = 4 kN/m

Độ cứng tương đương

Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/20 → k_eq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m

Đáp số

k_eq = 4 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design