Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một dây đai chạy trên puli dẫn 160 mm ở 2880 vòng/phút. Lực căng là 1200 N ở nhánh căng và 600 N ở nhánh chùng. Tìm công suất P truyền đi, theo kW.
d1 = 160 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1200 NT2 = 600 N
P = kW
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (45 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (16 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (32 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 3000 rpmA = 45B = 48C = 16D = 32
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục rỗng nhôm (đường kính ngoài 50 mm, đường kính trong 38 mm, chiều dài 3 m) được ngàm một đầu và bị xoắn bởi mô-men xoắn 1500 N·m ở đầu kia. Tìm góc xoắn φ theo độ.
T = 1500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục rỗng truyền 50 kW ở 1500 rpm. Tìm ứng suất tiếp lớn nhất τmax trong trục.
P = 50 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm có σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θs, trong khoảng từ −90° đến 90°, từ trục x đến pháp tuyến của mặt có ứng suất cắt đạt giá trị dương lớn nhất +R (ứng suất cắt dương cùng chiều với τₓᵧ).
σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một bể hình trụ thành mỏng có đường kính trong 400 mm và chiều dày thành 12 mm chứa khí ở áp suất dư 1,2 MPa. Nó được làm từ tấm thép hàn theo một đường hàn xoắn ốc nghiêng 55° so với trục của hình trụ. Tìm ứng suất pháp σn tác dụng vuông góc với đường hàn.
D = 400 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 55°
σn = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh đồng, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 40 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm ứng suất pháp lớn nhất σmax trong thanh.
P = 115 kNđoạn 1: Ø30 mm, 1 m, thép (E = 200 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 6 mE = 200 GPa (thép)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 2 mE = 70 GPa (nhôm)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 25 mm được theo sau một chu kỳ sau bởi đỉnh 11,7 mm. Tìm hệ số cản ζ.
x0 = 25 mmx1 = 11,7 mmn = 1
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 10 kg treo vào hai lò xo nối đầu với đầu (nối tiếp): lò xo trên có k₁ = 40 kN/m và lò xo dưới có k₂ = 100 kN/m. Tìm độ cứng tương đương keq của hệ lò xo theo kN/m.
m = 10 kgk1 = 40 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: P = 14,48 kW
Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = eμθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.
Tốc độ dây đai
v = 24,13 m/s
Công suất
P = (1200 − 600)·24,13 = 14476 W = 14,48 kW
Đáp số
P = 14,48 kW
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 1406 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 3000·45/48 = 2813 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 2813·16/32 = 1406 rpm
Đáp số
nout = 1406 rpm
tỉ số truyền tổng = 2,133 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: φ = 24,25 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
Góc xoắn
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·3000/(26000·408885) = 0,4233 rad
φ = 0,4233·180/π = 24,25°
Đáp số
φ = 24,25°
4.Xoắn của trục
Đáp số: τmax = 8,006 MPa
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mômen xoắn
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m
Mômen quán tính độc cực của mặt cắt
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴
Ứng suất tiếp lớn nhất
τmax = T·(do/2)/J = 318310·30/1,193 × 10⁶ = 8,006 MPa
Đáp số
τmax = 8,006 MPa
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θs = 76,72 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Trên vòng tròn Mohr, điểm trên cùng (+R) lệch 90° so với điểm chính σ₁; trên phân tố đó là 45°.
cos 2θs = −40/44,72 = −0,8944, sin 2θs = −(−20)/44,72 = 0,4472
2θs = atan2(20, −40) = 153,4°
Góc trên phần tử
θs = 76,72°
kiểm tra: θs − θp = 76,72 − (−58,28) = 135°
Đáp số
θs = 76,72°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σn = 13,29 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Hình trụ thành mỏng: ứng suất vòng σh = pr/t và ứng suất dọc trục σa = pr/(2t); đó là các ứng suất chính trong thành.
Các ứng suất trong thành
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1,2·200/12 = 20 MPa
σa = pr/(2t) = 10 MPa
Biến đổi sang đường hàn
Lấy x dọc theo trục (σa) và y theo chiều vòng (σh). Pháp tuyến của đường hàn tạo góc 90° − α với trục.
σn = 10·sin²55° + 20·cos²55° = 13,29 MPa
Đáp số
σn = 13,29 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 483,7 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for đồng = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 56,59/117000 = 0,0004837 = 483,7 µε
Đáp số
ε = 483,7 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σmax = 366,1 MPa
Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.
Cùng một lực trong cả hai đoạn
Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 162,7 MPa
σ2 = 366,1 MPa
Ứng suất lớn nhất
Đoạn mảnh hơn có diện tích nhỏ hơn, nên chịu ứng suất lớn hơn.
σmax = 366,1 MPa
Đáp số
σmax = 366,1 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 5,828 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/4200² = 5828 N = 5,828 kN
Đáp số
Pcr = 5,828 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 19,83 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7,5 = 186,7
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186,7² = 19,83 MPa
Đáp số
σcr = 19,83 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,12
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Giảm lượng logarit
δ = (1/1)·ln(25/11,7) = 0,7593
Hệ số cản
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7593/√(39,48 + 0,5765) = 0,12
Đáp số
ζ = 0,12
12.Dao động cơ học
Đáp số: keq = 28,57 kN/m
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Các lò xo nối tiếp chịu cùng một lực và cộng độ võng, nên chúng gộp theo nghịch đảo: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/40 + 1/100 → keq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m
Đáp số
keq = 28,57 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design