Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một động cơ 3 kW chạy ở 1450 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 20 răng, ăn khớp với một bánh răng có 30 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T₂ trên trục bánh răng.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 30η = 96%

T₂ = N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một động cơ 11 kW ở 960 rpm dẫn động bánh răng A (15 răng), ăn khớp với bánh răng B (18 răng). Bánh răng C (20 răng) trên cùng trục với B dẫn động bánh răng D (50 răng) trên trục ra. Mỗi cặp ăn khớp có hiệu suất 97%. Tìm mô-men đầu ra T_out.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 15B = 18C = 20D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc thép được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 100 N·m tác dụng tại B, cách A 2,5 m, và một mô-men xoắn 200 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa và τₓᵧ = −20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = 140 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = −50 MPa (kéo là dương). Tìm ứng suất pháp σ_θ trên một mặt có pháp tuyến xoay 25° ngược chiều kim đồng hồ so với trục x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Một thanh thép (đường kính 25 mm, E = 200 GPa) nằm trong một ống làm bằng nhôm (đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 50 mm, E = 70 GPa). Cả hai dài 400 mm và bị nén cùng nhau giữa các tấm cứng bởi 80 kN. Tìm độ co ngắn δ.

P = 80 kNthanh: Ø25 mm, E = 200 GPaống: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Thanh bậc được ngàm vào tường và chịu tải ở đầu tự do. Tìm tổng độ giãn dài δ.

P = 40 kNđoạn 1: Ø35 mm, 1 m, đồng thau (E = 100 GPa)đoạn 2: Ø20 mm, 0,5 m, nhôm (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (thép)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Trong một thí nghiệm dao động tự do của hệ vật–lò xo có cản, một đỉnh độ dời 20 mm được theo sau 5 chu kỳ sau bởi đỉnh 3 mm. Tìm hệ số cản ζ.

x₀ = 20 mmx₅ = 3 mmn = 5

ζ =

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 100 kg treo vào lò xo k₃ = 100 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 12 kN/m và k₂ = 12 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T₂ = 28,45 N·m

Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.

Mômen xoắn động cơ

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Mômen xoắn ra

T₂ = 19,76·30/20·0,96 = 28,45 N·m

Đáp số

T₂ = 28,45 N·m

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: T_out = 308,9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tốc độ ra

n_out = 960·(15/18)·(20/50) = 320 rpm

ω_out = 2π·320/60 = 33,51 rad/s

Công suất và mô-men đầu ra

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/33,51 = 308,9 N·m

Đáp số

T_out = 308,9 N·m

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 1,801 °

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·79522) = 0,03144 rad

φ = 0,03144·180/π = 1,801°

Đáp số

φ = 1,801°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 8,149 MPa

Các mô-men xoắn nội lực

Chiều của T_C được lấy là dương.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 100 = 100 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Đoạn có mô-men xoắn nội lực lớn nhất có ứng suất lớn nhất (cùng đường kính).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa

Đáp số

τ_max = 8,149 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 75 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = 125 MPa, R = √(15² + (−20)²) = 25 MPa

σ₁ = 150 MPa, σ₂ = 100 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 150, 100)/2 = 75 MPa

Đáp số

τ_abs = 75 MPa

Ở đây vòng tròn ngoài mặt phẳng quyết định: giá trị lớn nhất tuyệt đối lớn hơn giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_θ = 69,91 MPa

Phương trình biến đổi

σ_θ = 105 + 5·0,6428 + −50·0,766 = 69,91 MPa

Đáp số

σ_θ = 69,91 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 0,06268 mm

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Diện tích

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Độ cứng dọc trục kết hợp

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5890 = 5,105 × 10⁸ N

Độ co ngắn

δ = 80000·400/5,105 × 10⁸ = 0,06268 mm

Đáp số

δ = 0,06268 mm

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: δ = 1,325 mm

Cấu kiện chịu tải dọc trục: mỗi đoạn lăng trụ tuân theo δ = PL/(AE). Với các cấu kiện nối tiếp, độ giãn dài cộng lại.

Cùng một lực trong cả hai đoạn

Đầu tự do chịu lực P, nên mọi mặt cắt của thanh đều chịu cùng một lực dọc trục P. Chỉ có diện tích và vật liệu thay đổi.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Cộng độ giãn dài của các đoạn

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·1000/100000 = 0,4158 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·500/70000 = 0,9095 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,325 mm

Đáp số

δ = 1,325 mm

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 14,06 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14,06 kN

Đáp số

P_cr = 14,06 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 12,34 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Đáp số

σ_cr = 12,34 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: ζ = 0,06028

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Giảm lượng logarit

δ = (1/5)·ln(20/3) = 0,3794

Hệ số cản

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3794/√(39,48 + 0,144) = 0,06028

Đáp số

ζ = 0,06028

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 2,214 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 12 + 12 = 24 kN/m

k_eq = 24·100/(24 + 100) = 19,35 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(19355/100) = 13,91 rad/s

f_n = 13,91/(2π) = 2,214 Hz

Đáp số

f_n = 2,214 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design