Bánh răng và hệ bánh răng
- Bánh răng ăn khớp
- n1·N1 = n2·N2
- Mômen xoắn
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Công suất
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Hệ bánh răng ghép
- tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp
Thiết kế máy: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xoắn của trục
- Ứng suất tiếp
- τ = T·r/J
- Trục đặc
- J = πd⁴/32
- Trục rỗng
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Góc xoắn
- φ = TL/(GJ)
- Công suất
- P = T·ω = 2πnT/60
Phương pháp
- Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
- Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
- Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
- Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.
Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
- Tâm
- C = (σx + σy)/2
- Bán kính
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Ứng suất chính
- σ1,2 = C ± R
- Phương chính
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Mặt phẳng nghiêng
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Phương pháp
- Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
- Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Ứng suất và biến dạng dọc trục
- Ứng suất pháp
- σ = F/A
- Biến dạng
- ε = ΔL/L
- Định luật Hooke
- σ = E·ε
- Độ giãn dài
- ΔL = FL/(EA)
- Biến dạng nhiệt
- εT = α·ΔT
Mất ổn định cột
- Tải Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Hệ số chiều dài tính toán
- K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
- Ứng suất tới hạn
- σcr = Pcr/A
- Độ mảnh
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Dao động cơ học
- Tần số riêng
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Từ độ võng tĩnh
- ωn = √(g/δst)
- Cản tới hạn
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Hệ số cản
- ζ = c/cc
- Tần số có cản
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Giảm lượng logarit
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Lò xo song song
- k = k1 + k2
- Lò xo nối tiếp
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Bài tập
1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình
Một động cơ 15 kW chạy ở 2900 rpm dẫn động một bánh răng nhỏ có 30 răng, ăn khớp với một bánh răng có 48 răng. Cặp bánh răng có hiệu suất 96%. Tìm mômen xoắn ra T2 trên trục bánh răng.
P = 15 kWn1 = 2900 rpmN1 = 30N2 = 48η = 96%
T2 = N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó
Trong một hệ bánh răng ghép, bánh răng A (15 răng) trên trục vào quay 3000 rpm dẫn động bánh răng B (48 răng). Bánh răng C (20 răng) được cố định trên cùng trục với B và dẫn động bánh răng D (48 răng) trên trục ra. Tìm tốc độ ra nout.
nin = 3000 rpmA = 15B = 48C = 20D = 48
nout = rpm
3.Xoắn của trụcTrung bình
Một trục đồng thau đặc dài 0,5 m chịu mô-men xoắn 1000 N·m. Góc xoắn giữa hai đầu không được vượt quá 2°. Tìm đường kính nhỏ nhất d đáp ứng giới hạn này.
T = 1000 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Xoắn của trụcKhó
Một trục đặc thép đường kính 50 mm được ngàm tại A. Một mô-men xoắn 1000 N·m tác dụng tại B, cách A 1,5 m, và một mô-men xoắn 400 N·m ngược chiều tác dụng tại đầu tự do C, cách thêm 1,5 m. Tìm độ lớn của góc xoắn φC của đầu C, theo độ.
d = 50 mmTB = 1000 N·mTC = 400 N·mAB = 1,5 mBC = 1,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình
Một điểm trong chi tiết chịu tải có σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa và τₓᵧ = −40 MPa (kéo là dương). Tìm góc θp từ trục x đến phương của ứng suất chính lớn nhất, trong khoảng −90° đến 90°.
σx = −40 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó
Một trục đặc đường kính 20 mm chịu một mô-men uốn 100 N·m cùng với mô-men xoắn 500 N·m. Tại bề mặt trên, nơi ứng suất uốn là kéo và lớn nhất, hãy tìm ứng suất chính lớn nhất σ1.
d = 20 mmM = 100 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình
Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh thép, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).
P = 100 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó
Một đoạn thép (đường kính 25 mm, chiều dài 600 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng (đường kính 60 mm, chiều dài 300 mm, E = 120 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 50 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ2 trong đoạn 2.
đoạn 1: thép, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Mất ổn định cộtTrung bình
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.
L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.
L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
σcr = MPa
11.Dao động cơ họcTrung bình
Một vật 2 kg được đỡ bởi một lò xo có độ cứng 1 kN/m và một bộ cản nhớt có hệ số cản 10 N·s/m. Tìm hệ số cản ζ.
m = 2 kgk = 1 kN/mc = 10 N·s/m
ζ =
12.Dao động cơ họcKhó
Một vật 25 kg treo vào lò xo k₃ = 10 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 30 kN/m và k₂ = 5 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng fn của dao động thẳng đứng theo Hz.
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz
3Dung dịch
1.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: T2 = 75,87 N·m
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Mômen xoắn động cơ
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m
Mômen xoắn ra
T2 = 49,39·48/30·0,96 = 75,87 N·m
Đáp số
T2 = 75,87 N·m
2.Bánh răng và hệ bánh răng
Đáp số: nout = 390,6 rpm
Hệ bánh răng: các bánh răng ăn khớp có cùng tốc độ tại răng, nên n₁·N₁ = n₂·N₂: bánh răng có ít răng hơn quay nhanh hơn. Các bánh răng trên cùng một trục quay cùng tốc độ. Công suất được truyền đi (trừ tổn thất), nên mômen xoắn tăng khi tốc độ giảm: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, và P = T·ω với ω = 2π·n/60.
Cấp thứ nhất
nB = 3000·15/48 = 937,5 rpm = nC
Cấp thứ hai
nout = 937,5·20/48 = 390,6 rpm
Đáp số
nout = 390,6 rpm
tỉ số truyền tổng = 7,68 : 1
3.Xoắn của trục
Đáp số: d = 43,98 mm
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Mô-men quán tính độc cực cần thiết
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·500/(39000·0,03491) = 367281 mm⁴
Đường kính
d = (32J/π)1/4 = 43,98 mm
Đáp số
d = 43,98 mm
Trong thực tế bạn sẽ làm tròn lên kích thước tiêu chuẩn kế tiếp.
4.Xoắn của trục
Đáp số: φC = 0,3502 °
Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τmax = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(do⁴ − di⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω.
Các mô-men xoắn nội lực
Chiều của TC được lấy là dương.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 1000 = −600 N·m
Góc xoắn của từng đoạn
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −600000·1500/(80000·613592) = −0,01833 rad
φBC = 400000·1500/(80000·613592) = 0,01222 rad
Góc xoắn của đầu C
φC = −0,01833 + 0,01222 = −0,006112 rad → |φC| = 0,3502°
Đáp số
φC = 0,3502°
5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: θp = −71,99 °
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Góc trên vòng tròn
Điểm x nằm ở góc 2θp so với trục σ trên vòng tròn Mohr; góc phần tư suy ra từ dấu của σₓ − σᵧ và τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−40, −40 − 70) = −144°
Góc trên phần tử
θp = −71,99°
Đáp số
θp = −71,99°
Góc dương là ngược chiều kim đồng hồ.
6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất
Đáp số: σ1 = 388,3 MPa
Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các ứng suất tại bề mặt
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127,3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318,3 MPa
Vòng tròn Mohr
C = σ/2 = 63,66 MPa
R = √(63,66² + 318,3²) = 324,6 MPa
σ1 = C + R = 388,3 MPa
σ2 = C − R = −261 MPa
Đáp số
σ1 = 388,3 MPa
7.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: ε = 1592 µε
Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).
Ứng suất
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 100·1000/314,2 = 318,3 MPa
Biến dạng (định luật Hooke)
E for thép = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 318,3/200000 = 0,001592 = 1592 µε
Đáp số
ε = 1592 µε
8.Ứng suất và biến dạng dọc trục
Đáp số: σ2 = 15,45 MPa
Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, Pi = P·EiAi/ΣEA, và σi = Ei·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.
Các độ cứng
k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm
Phần của đoạn 2
F2 = 50000·1,131 × 10⁶/1,295 × 10⁶ = 43680 N
Ứng suất
σ2 = 43680/2827 = 15,45 MPa (nén)
Đáp số
σ2 = 15,45 MPa
9.Mất ổn định cột
Đáp số: Pcr = 134,3 kN
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
Chiều dài tính toán
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Tải trọng tới hạn
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2800² = 134280 N = 134,3 kN
Đáp số
Pcr = 134,3 kN
10.Mất ổn định cột
Đáp số: σcr = 49,35 MPa
Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.
Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt
Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
Bán kính quán tính và độ mảnh
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/6,25 = 200
Ứng suất tới hạn
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa
Đáp số
σcr = 49,35 MPa
11.Dao động cơ học
Đáp số: ζ = 0,1118
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Cản tới hạn
cc = 2·√(k·m) = 2·√(1000·2) = 89,44 N·s/m
Hệ số cản
ζ = c/cc = 10/89,44 = 0,1118
Đáp số
ζ = 0,1118
ζ < 1, nên hệ cản dưới tới hạn và dao động khi tắt dần.
12.Dao động cơ học
Đáp số: fn = 2,807 Hz
Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ωn = √(k/m) theo rad/s, và fn = ωn/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/cc, với cản tới hạn cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ωd = ωn·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Độ cứng tương đương
Chỉ k1 và k2 song song. Cặp đó nối tiếp với k3, nên gộp chúng theo nghịch đảo.
k12 = 30 + 5 = 35 kN/m
keq = 35·10/(35 + 10) = 7,778 kN/m
Tần số riêng
ωn = √(7778/25) = 17,64 rad/s
fn = 17,64/(2π) = 2,807 Hz
Đáp số
fn = 2,807 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design