Thiết kế máy: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Bánh răng và hệ bánh răng

Bánh răng ăn khớp: n₁·N₁ = n₂·N₂
Mômen xoắn: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Công suất: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Hệ bánh răng ghép: tỉ số truyền tổng = tích các tỉ số truyền từng cấp

Xoắn của trục

Ứng suất tiếp: τ = T·r/J
Trục đặc: J = πd⁴/32
Trục rỗng: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Góc xoắn: φ = TL/(GJ)
Công suất: P = T·ω = 2πnT/60

Phương pháp

Tìm mômen quán tính độc cực: J = πd⁴/32 cho trục đặc.
Ứng suất tiếp ở bề mặt: τ = T·r/J, với r là bán kính ngoài.
Góc xoắn: φ = TL/(GJ) theo radian.
Nếu cho công suất, hãy tìm mômen xoắn trước bằng P = T·ω, ω = 2πn/60.

Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Tâm: C = (σ_x + σ_y)/2
Bán kính: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Ứng suất chính: σ_1,2 = C ± R
Phương chính: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Mặt phẳng nghiêng: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Phương pháp

Tính tâm của vòng tròn Mohr: C = (σx + σy)/2.
Tính bán kính: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Các ứng suất chính là C ± R và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R.
Các góc trên vòng tròn gấp đôi các góc trên phần tử: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ứng suất và biến dạng dọc trục

Ứng suất pháp: σ = F/A
Biến dạng: ε = ΔL/L
Định luật Hooke: σ = E·ε
Độ giãn dài: ΔL = FL/(EA)
Biến dạng nhiệt: ε_T = α·ΔT

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

Dao động cơ học

Tần số riêng: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Từ độ võng tĩnh: ω_n = √(g/δ_st)
Cản tới hạn: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Hệ số cản: ζ = c/c_c
Tần số có cản: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Giảm lượng logarit: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lò xo song song: k = k₁ + k₂
Lò xo nối tiếp: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Bài tập

1.Bánh răng và hệ bánh răngTrung bình

Một puli 125 mm ở 2880 vòng/phút dẫn động một puli 450 mm bằng dây đai với độ trượt 3 %. Tìm tốc độ n₂ của puli bị dẫn.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 450 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răngKhó

Một dây đai hở nối puli dẫn 150 mm ở 1450 vòng/phút với puli 400 mm; tâm cách nhau 1200 mm. Hệ số ma sát là 0,25 và lực căng nhánh căng không được vượt quá 1500 N. Tìm công suất lớn nhất P mà dây đai có thể truyền mà không trượt, theo kW (bỏ qua hiệu ứng ly tâm).

d₁ = 150 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

3.Xoắn của trụcTrung bình

Một trục đặc nhôm được ngàm vào tường và bị xoắn bởi mômen xoắn T ở đầu tự do. Tìm góc xoắn φ của đầu tự do, theo độ.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Xoắn của trụcKhó

Một trục đặc đồng thau đường kính 40 mm được ngàm vào các tường cứng ở cả hai đầu A và B. Một mô-men xoắn 250 N·m đặt tại C, cách A 0,8 m và cách B 2,5 m. Tìm ứng suất cắt lớn nhất τ_max trong trục.

d = 40 mmT₀ = 250 N·ma = 0,8 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtTrung bình

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa và τₓᵧ = 20 MPa, với σ_z = 0. Tìm ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối τ_abs tại điểm đó (xét mọi mặt trong không gian ba chiều).

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suấtKhó

Một điểm trong một tấm mỏng ở trạng thái ứng suất phẳng: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa và τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Tìm ứng suất tương đương von Mises σ_vM.

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trụcTrung bình

Tìm biến dạng dọc trục ε trong thanh nhôm, tính bằng microstrain (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trụcKhó

Một đoạn thép (đường kính 20 mm, chiều dài 500 mm, E = 200 GPa) và một đoạn làm bằng đồng thau (đường kính 30 mm, chiều dài 500 mm, E = 100 GPa) được nối đầu với đầu và ngàm giữa hai vách cứng. Một tải dọc trục 20 kN tác dụng tại chỗ nối, hướng về phía đoạn 2. Tìm độ lớn ứng suất σ₂ trong đoạn 2.

đoạn 1: thép, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPađoạn 2: đồng thau, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 2 mE = 200 GPa (thép)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σ_cr theo công thức Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (nhôm)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Dao động cơ họcTrung bình

Một vật 2 kg trên lò xo có độ cứng 2 kN/m có bộ cản nhớt cho hệ số cản 0,7. Tìm tần số riêng có cản f_d của dao động tự do theo Hz.

m = 2 kgk = 2 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Dao động cơ họcKhó

Một vật 20 kg treo vào lò xo k₃ = 10 kN/m. Đầu trên của k₃ được gắn vào một thanh cứng treo bằng hai lò xo đặt cạnh nhau, k₁ = 12 kN/m và k₂ = 60 kN/m; thanh giữ nằm ngang. Bỏ qua lực cản và khối lượng của các lò xo và thanh. Tìm tần số riêng f_n của dao động thẳng đứng theo Hz.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Dung dịch

1.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: n₂ = 776 rpm

Truyền động đai: khi không trượt, cả hai puli có cùng tốc độ mép v = π·d·n/60, nên n₁·d₁ = n₂·d₂ và tỉ số tốc độ là d₂/d₁. Độ trượt s làm puli bị dẫn chậm hơn một chút: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Công suất truyền là P = (T₁ − T₂)·v, với T₁ là lực căng ở nhánh căng và T₂ ở nhánh chùng. Ma sát giới hạn tỉ số các lực căng: T₁/T₂ = e^μθ, trong đó θ là góc ôm tính theo radian trên puli nhỏ hơn; với đai hở θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) với khoảng cách tâm C.

Tốc độ khi không trượt

2880·125/450 = 800 rpm

Khi có trượt

n₂ = 800·0,97 = 776 rpm

Đáp số

n₂ = 776 rpm

2.Bánh răng và hệ bánh răng

Đáp số: P = 8,877 kW

Góc ôm

θ = 2,933 rad

Lực căng nhánh chùng

e^μθ = e^0,7332 = 2,082, T₂ = 1500/2,082 = 720,5 N

Công suất

P = (1500 − 720,5)·11,39 = 8,877 kW

Đáp số

P = 8,877 kW

3.Xoắn của trục

Đáp số: φ = 13,79 °

Mômen quán tính độc cực của mặt cắt

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Góc xoắn

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(26000·38350) = 0,2407 rad

φ = 0,2407·180/π = 13,79°

Đáp số

φ = 13,79°

4.Xoắn của trục

Đáp số: τ_max = 15,07 MPa

Xoắn thanh tròn: ứng suất tiếp tăng tuyến tính từ không ở tâm đến τ_max = T·r/J ở bề mặt, với J = πd⁴/32 cho trục đặc và J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 cho trục rỗng. Góc xoắn là φ = TL/(GJ) tính bằng radian. Công suất và mômen xoắn liên hệ với nhau qua P = T·ω. Khi cả hai đầu bị ngàm, tĩnh học chỉ cho T_A + T_B = T₀; phương trình thứ hai là điều kiện tương thích (góc xoắn của hai phần bằng nhau tại tiết diện chịu tải).

Cân bằng và tương thích

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/3,3 = 189,4 N·m

T_B = 250·0,8/3,3 = 60,61 N·m

Ứng suất tiếp lớn nhất

Mô-men xoắn lớn hơn trong hai mô-men quyết định (cùng đường kính).

τ_max = 16·189394/(π·40³) = 15,07 MPa

Đáp số

τ_max = 15,07 MPa

5.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: τ_abs = 49,24 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Trong không gian ba chiều, ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối là (σ_max − σ_min)/2 trên cả ba ứng suất chính; trong ứng suất phẳng, ứng suất thứ ba bằng không.

Các ứng suất chính trong mặt phẳng

C = −15 MPa, R = √((−45)² + 20²) = 49,24 MPa

σ₁ = 34,24 MPa, σ₂ = −64,24 MPa, σ_z = 0

Vòng tròn lớn nhất trong ba vòng tròn

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(98,49, 34,24, 64,24)/2 = 49,24 MPa

Đáp số

τ_abs = 49,24 MPa

Ở đây σ₁ và σ₂ trái dấu, nên giá trị lớn nhất trong mặt phẳng R cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.

6.Vòng tròn Mohr và biến đổi ứng suất

Đáp số: σ_vM = 124,1 MPa

Biến đổi ứng suất phẳng: trên một mặt xoay góc θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Vòng tròn Mohr cho thấy tất cả các mặt cùng lúc: tâm của nó ở C = (σₓ + σᵧ)/2 và bán kính là R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Các ứng suất chính là C ± R, và ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt phẳng là R. Tiêu chuẩn chảy: von Mises dự đoán vật liệu chảy khi σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) đạt σ_Y; Tresca khi ứng suất cắt lớn nhất tuyệt đối đạt σ_Y/2.

Ứng suất chính

C = 65 MPa, R = 61,03 MPa

σ₁ = 126 MPa, σ₂ = 3,967 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(126² − 126·3,967 + 3,967²) = 124,1 MPa

Đáp số

σ_vM = 124,1 MPa

7.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: ε = 2324 µε

Định luật Hooke: trong giới hạn đàn hồi σ = E·ε. Kết hợp với σ = P/A và ε = δ/L ta được δ = PL/(AE).

Ứng suất

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706,9 = 162,7 MPa

Biến dạng (định luật Hooke)

E for nhôm = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 162,7/70000 = 0,002324 = 2324 µε

Đáp số

ε = 2324 µε

8.Ứng suất và biến dạng dọc trục

Đáp số: σ₂ = 14,98 MPa

Hai vật liệu: khi nối tiếp (cái này sau cái kia) mỗi đoạn chịu cùng một lực và các độ giãn dài cộng lại: δ = P·Σ L/(E·A). Khi song song (cạnh nhau giữa các tấm cứng) cả hai phần co lại cùng một lượng, nên biến dạng của chúng bằng nhau: phần cứng hơn nhận phần tải lớn hơn, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, và σ_i = E_i·ε. Một thanh bị giữ giữa hai vách cứng với tải đặt tại chỗ nối là siêu tĩnh: hai đoạn chia tải theo tỉ lệ độ cứng k = EA/L của chúng.

Các độ cứng

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Phần của đoạn 2

F₂ = 20000·141372/267035 = 10588 N

Ứng suất

σ₂ = 10588/706,9 = 14,98 MPa (nén)

Đáp số

σ₂ = 14,98 MPa

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 222,1 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1000² = 222066 N = 222,1 kN

Đáp số

P_cr = 222,1 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: σ_cr = 4,318 MPa

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Ứng suất tới hạn

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Đáp số

σ_cr = 4,318 MPa

11.Dao động cơ học

Đáp số: f_d = 3,594 Hz

Dao động tự do của hệ vật–lò xo: tần số riêng không cản là ω_n = √(k/m) theo rad/s, và f_n = ω_n/(2π) theo Hz. Một bộ cản nhớt c cho hệ số cản ζ = c/c_c, với cản tới hạn c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Hệ cản dưới tới hạn (ζ < 1) dao động ở ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Các lò xo song song cộng lại, k = k₁ + k₂; các lò xo nối tiếp cộng theo nghịch đảo, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Tần số riêng không cản

ω_n = √(2000/2) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Tần số riêng có cản

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,7²) = 3,594 Hz

Đáp số

f_d = 3,594 Hz

12.Dao động cơ học

Đáp số: f_n = 3,335 Hz

Độ cứng tương đương

Chỉ k₁ và k₂ song song. Cặp đó nối tiếp với k₃, nên gộp chúng theo nghịch đảo.

k₁₂ = 12 + 60 = 72 kN/m

k_eq = 72·10/(72 + 10) = 8,78 kN/m

Tần số riêng

ω_n = √(8780/20) = 20,95 rad/s

f_n = 20,95/(2π) = 3,335 Hz

Đáp số

f_n = 3,335 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design